2.3. Кумулянты

Рассмотрим теперь случайный вектор с действительными или комплексными компонентами для которого

Определение 2.3.1. Совместный кумулянт порядка вектора задается формулой:

где суммирование ведется по всем разбиениям , множества

В важном частном случае приведенное определение задает кумулянт порядка одномерной случайной величины У.

Теорема 2.3.1. Кумулянт является коэффициентом при в разложении функции в ряд Тейлора в окрестности начала координат.

Утверждение этой теоремы иногда принимается за определение Перечислим ряд свойств кумулянтов:

(i) для всех постоянных

(ii) - симметричная функция своих аргументов;

(iii) если некоторая группа величин из независима от остальных величин в наборе, то

(iv) для случайных величин ;

(v) для постоянной

    (2.3.2)

(vi) если случайные величины независимы, то

    (2.3.3)

Кумулянты, являющиеся полезной мерой статистической зависимости случайных величин (см. (iii) выше), представляют собой средство определения интересующих нас параметров, а также удобный аппарат для доказательства теорем. Кумулянты часто называют семиинвариантами, они рассматривались в работах: Dressel (1940), Kendall, Stuart (1958), Леонов и Ширяев (1959).

Стандартная нормально распределенная величина имеет характеристическую функцию . Из теоремы 2.3.1 следует, что ее кумулянты порядка выше 2 равны 0. Из вытекает также, что все совместные кумулянты набора независимых величин равны нулю. Многомерная нормально распределенная величина определяется как вектор, компоненты которого являются линейными комбинациями независимых нормальных величин. Согласно все кумулянты порядка выше 2 равны нулю и для многомерного нормального распределения.

Нам часто придется использовать совместные кумулянты полиномиальных функций от случайных величин. Прежде чем привести выражения для совместных кумулянтов таких величин, введем некоторые обозначения, восходящие к работе Леонов, Ширяев (1959). Рассмотрим (необязательно прямоугольную) таблицу

    (2.3.4)

и разбиение множества ее элементов. Мы скажем, что принадлежащие разбиению множества зацепляются, если существуют такие, что Будем говорить, что сообщаются, если существует Последовательность множеств , такая, что зацепляются для Разбиение называется неразложимым, если все множества сообщаются. Пусть обозначают строки табл. 2.3.4. Разбиение является неразложимым тогда и только тогда, когда не существует множеств и строк таких, что

    (2.3.5)

Следующая лемма дает критерий неразложимости разбиений.

Лемма 2.3.1. Рассмотрим разбиение табл. 2.3.4. Для элементов таблицы и заданных чисел положим если

Разбиение неразложимо тогда и только тогда, когда все элементы множества являются суммами и разностями величин

Возможна и альтернативная формулировка. По набору чисел определим функцию

Разбиение неразложимо тогда и только тогда, когда сложение и вычитание чисел — , порождает все элементы множества

Заметим, что множество порождается независимыми разностями, такими, как . Отсюда следует, что в случае неразложимого разбиения можно найти независимых разностей среди

Теорема 2.3.2. Рассмотрим набор случайных величин Введем I случайных величин

    (2.3.6)

Тогда совместный кумулянт задается формулой

где суммирование ведется по всем неразложимым разбиениям табл. 2.3.4.

Эта теорема представляет собой частный случай результата, полученного Леоновым и Ширяевым (1959).

Коротко упомянем один из примеров использования этой теоремы. Пусть — -компонентный нормальный вектор. Его кумулянты порядка выше 2 будут равны нулю. Допустим, нас интересует Доказательство теоремы 2.3.2 показывает, что

    (2.3.8)

Это выражение получил Isserlis (1918).

Закончим этот параграф определением, которое обобщает определения функции среднего значения и автоковариационной функции, приведенные в § 2.2. Для векторного временного ряда с компонентами положим

    (2.3.9)

где функция будет называться совместной кумулянтной функцией порядка k ряда