К главе 6

Доказательства теорем 6.2.1 и 6.2.2. Эти результаты являются классическими. Доказательства можно найти, например, в монографии Kendall, Stuart (1961, гл. 19).

Доказательства теорем 6.2.3 и 6.2.4. Мы получим эти результаты как следствия теорем 6.2.1 и 6.2.2, переписав (6.2.6) в виде

рассмотренной в этих теоремах модели

Доказательство теоремы 6.2.5 непосредственно вытекает из указанных в теореме 6.2.4 свойств а.

Доказательство леммы 6.3.1. Справедливо соотношение

в котором в силу ограниченности значений Отсюда заключение леммы вытекает непосредственно. Ниже нам понадобится

Лемма Д 6.1. Для произвольных -матрицы Р и -матрицы Q выполняется неравенство

Доказательство. Прежде всего запишем неравенство Шварца в матричной форме

(Это вытекает из достижимости минимума в теореме 6.2.1.) Отсюда получаем

Далее,

откуда и следует результат.

Доказательство теоремы 6.4.1. Поскольку выполняется соотношение Подставим сюда

выражение

Здесь по лемме Д 6.1

поэтому справедливо (6.4.9).

Прежде чем мы приступим к доказательству теоремы 6.4.2, докажем лемму, являющуюся некоторым обобщением результата Billingsley (1966).

Лемма Д 6.2. Пусть — последовательность -мерных векторов, сходящихся по распределению при а -последовательность унитарных -матриц. Тогда также сходится по распределению к .

Доказательство. Рассмотрим некоторую подпоследовательность из Поскольку группа унитарных матриц компактна [Weyl (1946)], содержит некоторую подпоследовательность сходящуюся к U. По теореме сходится по распределению к . Из этого следует, что всякая подпоследовательность имеет подпоследовательность, сходящуюся по распределению к , поэтому также должна сходиться к .

Доказательство теоремы 6.4.2. Рассмотрим сначала входящие в случай А. Как следует из леммы 6.3.1, для выполняется соотношение

с равномерным по s (в силу равномерной ограниченности первой производной и справедливости соотношения остаточным членом Написанное выше выражение полезно сравнить с (6.3.7). Введем обозначение DK для -матрицы, столбцы которой суть величины и аналогично определим Теперь полученное выше соотношение можно переписать в виде

Введем обозначение для унитарной -матрицы, первые столбцов которой составляют матрицу Запишем это так: Применив к матричному соотношению, приведенному выше, получим

Для первых столбцов это дает

Для оставшихся мы получим соотношение

Поскольку матрица унитарна, имеем

поэтому

где обозначает ограниченную по вероятности величину.

Теперь применение теоремы 4.4.1 показывает, что поскольку ряд удовлетворяет условию 2.6.1, ряд сходится к Поэтому сходится к . Применение леммы Д 6.2 показывает, что также сходится к и потому сходится к . Указанное асимптотическое поведение следует теперь из полученных для них выше представлений.

Для X, входящих в случай В или случай С, приведенная форма рассуждений проходит с заменой унитарной матрицы ортогональной. Поведение величины получается из ее зависимости от

Нам понадобится

Лемма Д 6.3 [Скороход (1956)]. Пусть последовательность векторных случайных величин, сходящихся по распределению к V. Тогда, переходя к эквивалентной вероятностной структуре, можно написать

Эта лемма дает нам другое доказательство леммы Д 6.2. Мы можем написать

где Z имеет распределение поэтому

имеет распределение для всех Т.

Доказательство теоремы 6.4.3. Последняя лемма показывает, что можно написать

где являются независимыми переменными с распределением Пусть Мы можем совершить замену Для суммы квадратов имеем тождество

Появившиеся члены являются квадратичными формами от степеней соответственно плюс стремящийся к нулю с вероятностью 1 член. Из упр. 4.8.7 следует, что первый член в правой части можно записать как , в то время как второй член может быть записан в виде где величины независимы. Выражение (6.4.12) получается теперь простыми выкладками.

Доказательство теоремы 6.5.1. Пусть .

Далее, поскольку имеем

Пусть . По лемме 6.3.1 величина равномерно ограничена. Поэтому подстановкой получим

где, согласно лемме Д 6.1, для некоторого конечного К

Здесь мы воспользовались ограниченностью и неотрицательностью W (Р). Первое выражение в (6.5.14) следует теперь из условия 6.5.2. Обратимся ко второму выражению и предположим, что Областью, в которой функция не равна нулю, является область . В этой области , поскольку по принятым допущениям имеет равномерно ограниченную первую производную. Доказательство теоремы завершает теперь подстановка этого последнего соотношения в выражение (6.5.14).

Доказательство теоремы 6.5.2. Заметим сначала, что, как следует из (6.6.3),

поэтому справедливо соотношение

приводящее к первому выражению (6.5.19). Второе выражение следует из (6.5.14) и того факта, что .

Для доказательства первых соотношений в (6.5.20) и (6.5.21) воспользуемся разложениями в ряд Тейлора

приняв и применим (6.6.3). Чтобы доказать справедливость вторых выражений, также воспользуемся этими разложениями, однако на этот раз положим и применим (6.5.14).

Прежде чем перейти к оставшимся доказательствам этого параграфа, необходимо ввести некоторые обозначения и доказать

несколько лемм. Мы положим

Поскольку ряд ненаблюдаем, эти величины также ненаблюдаемы. Мы увидим, однако, что интересующие нас статистики являются элементарными функциями этих величин. Далее, элемент мы обозначим и подобным же образом будем обозначать элементы . Справедлива

Лемма Д 6.4. Если функция равномерно ограничена, то выполнено соотношение

с равномерным по К остаточным членом.

Доказательство. Этот результат следует из неравенств

Лемма Д 6.5. Если равномерно ограничена, то справедливо соотношение

с равномерным по остаточным членом.

Доказательство. В силу неравенства Шварца абсолютная величина указанного выражения не превосходит

что дает желаемый результат.

Лемма Д 6.6. При условиях теоремы 6.5.1

Доказательство. Заметим сначала, что, пользуясь леммой 6.3.1, можно получить соотношение

Поскольку для справедливо

имеем

Рассматриваемый семиинвариант дается выражением

Главный член возникшего в последнем выражении семиинварианта имеет вид

где есть подстановка соответствующая некоторому неразложимому разбиению. Мы имеем Устранив с помощью лемм Д 6.4 и Д 6.5 суммирование по q и , увидим, что главный член в А имеет вид

что дает указанный результат для Остальные соотношения получаются таким же способом.

Зги оценки порядков совместных семиинвариантов для некоторых целей вполне достаточны, однако они являются довольно грубыми для случая второго порядка. Здесь верна более детальная

Лемма Д 6.7. В условиях теоремы 6.5.1

Доказательство. Рассмотрим второе из этих выражений. Как следует из первого соотношения в доказательстве леммы Д 6.4, искомая ковариация равна

Другие ковариации также получаются из этого соотношения, леммы Д 6.4 и того факта, что имеет равномерно ограниченную производную, а носителем функции является

В следующей ниже лемме мы положим

Лемма Д 6.8. Пусть . Тогда при условиях теоремы 6.5.1

Доказательство. Первое из этих выражений мы получили в ходе доказательства (6.5.14). Второе получается непосредственно. Для третьего заметим, что

откуда и выводится указанный результат. Согласно условию 6.5.2, имеем

при конечных К и L. Для последнего утверждения заметим, что

и результат вытекает из предыдущих соотношений леммы.

Доказательство теоремы 6.5.3. Мы видим, что по леммам Д 6.8 и Д 6.7

Из теоремы 5.6.1 ясно, что

и мы получаем нужный результат.

Доказательство теоремы 6.5.4. Из (6.3.2) и леммы 6.3.1 видим, что

Это дает

Поэтому, используя (6.5.14), получаем соотношение

Теперь результат доказан, поскольку из указанной ограниченности следует равномерная ограниченность с .

Доказательство теоремы 6.6.1. Непосредственно из определения видно, что

и (6.6.3) следует из первого выражения леммы Д 6.7.

Доказательство теоремы 6.6.2. Как и в доказательстве теоремы 6.5.2, мы имеем разложения Тейлора

Нужные ковариации получаются теперь из этих разложений и (6.6.3).

Доказательство теоремы 6.6.3. Из леммы Д 6.8 видим, что остаточный член.

Из леммы ясно, что остаточным членом является

Указанный результат следует теперь из (5.6.12).

Доказательство теоремы 6.6.4. Как видно из (6.3.2) и леммы 6.3.1,

Соотношение (6.6.13) следует теперь из теоремы 4.3.1.

Доказательство теоремы 6.6.5. Если воспользоваться представлениями леммы Д 6.8 и леммы Д 6.6, то первой искомой ковариацией будет служить

Вторая ковариация получается из представления полученного в доказательстве теоремы 6.6.4, и из лемм Д 6.6 и Д 6.8. Последняя ковариация получается аналогично.

Доказательство теоремы 6.7.1. Мы докажем первую часть этой теоремы, вычисляя совместные семиинварианты порядка выше второго и устанавливая сходимость к О этих совместных семиинвариантов при подходящей нормировке. Из леммы Д 6.6 видно, что

и каждый из них стремится к 0 при Вторая часть теоремы доказывается аналогично, вычислением совместных семиинвариантов.

Доказательство теоремы 6.8.1. Из (6.8.2) видно, что

с равномерными остаточными членами. Это дает первое выражение в (6.8.4); второе получается вычислениями.

Доказательство теоремы 6.8.2. Рассмотрим сначала (6.6.3) и заметим, что

для поскольку так что в этом случае

Теперь из (6.8.2) и (6.6.3) видим, что

и получаем (6.8.7).

Доказательство теоремы 6.8.3 проводится как доказательство теоремы 6.8.2, однако вместо (6.6.3) мы воспользуемся (6.6.14).

Доказательство теоремы 6.8.4. Докажем, что нормированные семиинварианты порядка выше второго переменных, указанных в теореме, стремятся к 0. Мы имеем

Здесь мы воспользовались леммой Д 6.6, а также тем замечанием, что доказательство завершает устранение одного суммирования по . Как видно, этот семиинвариант стремится к 0, поскольку при