3.2. Ряд Фурье

Пусть — комплексная функция, имеющая период такая, что

    (3.2.1)

Коэффициенты Фурье функции задаются формулой

Тогда ряд

    (3.2.3)

называется рядом Фурье функции . Имеется обширная литература, посвященная рядам Фурье и свойствам коэффициентов Фурье (например Zygmund (1959) и Edwards . Значительное внимание в литературе уделяется исследованию частных сумм

    (3.2.4)

В этой книге нам много раз придется оценивать близость к А(X) при больших п. Прежде всего заметим, что из (3.2.2) и упр. 1.7.5 вытекает следующая формула:

    (3.2.5)

Графики функций

    (3.2.6)

изображены на рис. 3.2.1 для . Отметим, что функция знакопеременна и при больших она, так сказать, все более сосредоточивается в окрестности точки При этом, как следует из упр. 1.7.5,

    (3.2.7)

Эти свойства показывают, что является взвешенным средним функции с весом, сосредоточенным в окрестности . Если функция достаточно регулярна, то было бы естественно ожидать, что близки к при больших . Можно, например, доказать, что, если - функция ограниченной вариации, стремятся к при ; Edwards (1967 стр. 150).

Налагая дополнительные условия регулярности, можно оценить скорость приближения при .

Рис. 3.2.1. График функции

Допустим, что

Это условие связано со степенью гладкости Л (а). При выполнении такого условия функция Л (а) имеет ограниченные непрерывные производные вплоть до порядка k. Тогда

    (3.2.9)

и, следовательно,

    (3.2.10)

Таким образом, степень аппроксимации суммами оказывается тесно связанной с гладкостью .

Предостережем читателя, что, вообще говоря, не обязательно стремится к при даже в случае, когда является непрерывной ограниченной функцией X; Edwards (1967, стр. 150). Однако связь между функциями хорошо отражается формулой (3.2.5). «Регулярное» поведение разности особенно сильно нарушается в окрестностях точек разрыва функции А (к). При этом может иметь место явление Гиббса, когда превышение уровня А значениями функции не уменьшается с ростом ; Hamming (1962, стр. 295) или Edwards (1967, стр. 172).