3.4. Конечные преобразования Фурье и их свойства

Для данной последовательности , в предыдущем параграфе приходилось рассматривать выражения вида

    (3.4.1)

Последнее при фиксированном называется конечным преобразованием Фурье набора чисел . При анализе временных рядов такие преобразования будут представлять собой важные статистики.

Прежде чем двигаться дальше, целесообразно слегка изменить обозначения, а также рассмотреть общий случай векторных последовательностей. А именно, рассмотрим последовательность -мерных векторов , определенную на числах в отличие от прежнего выбора в качестве области определения чисел Определим конечное преобразование Фурье этой последовательности формулой

    (3.4.2)

В случае когда , где — целое, можно записать

Понятно, что единственная разница между определениями (3.4.1) и (3.4.2) состоит в наличии множителя, равного по модулю единице. Какое из двух определений более удобно, зависит от конкретной ситуации.

Среди свойств определения (3.4.2) выделим следующее:

    (3.4.3)

если же компоненты принимают действительные значения, то

    (3.4.4)

Из этих двух свойств вытекает, что в случае действительных компонент в качестве основной области определения функции может быть взят отрезок Далее заметим, что для данных и постоянных выполняется соотношение

    (3.4.9)

Иногда требуется сравнить конечное преобразование Фурье свертки двух последовательностей с преобразованиями Фурье самих этих последовательностей. Справедлива

Лемма 3.4.1. Пусть равномерно ограниченная последовательность -мерных векторов, и пусть а такая -матричная функция, что

    (3.4.6)

Положим

    (3.4.7)

Тогда существует такое конечное К, что

    (3.4.8)

где

    (3.4.9)

Мы видим, что конечное преобразование Фурье профильтрованного ряда приблизительно равно произведению передаточной функции фильтра и конечного преобразования Фурье исходного ряда. Этот результат в дальнейшем позволит осуществлять фильтрацию интересующих нас рядов с помощью численных методов; см. также лемму 6.3.1.

Приведем теперь несколько примеров конечного преобразования Фурье. В рассматриваемых случаях проще воспользоваться симметричным определением

    (3.4.10)

Пример 1 (постоянная). Пусть тогда выражение (3.4.10) обращается в

    (3.4.11)

График этой функции приведен на рис. 3.2.1, . Заметим, что функция имеет пики при

Пример 2 (гармоническое колебание). Пусть где — действительное число, тогда (3.4.10)

обращается в

    (3.4.12)

Эта функция совпадает с преобразованием из примера 1, если сдвинуть аргумент на со. Она имеет пики при

Пример 3 (комплексный тригонометрический полином). Пусть . Из предыдущих рассмотрений ясно, что (3.4.10) совпадает с

и у этого преобразования большая амплитуда при

Пример 4 (моном). Допустим , где — натуральное число. Тогда (3.4.10) примет вид

    (3.4.14)

Это выражение ведет себя подобно производной преобразования, рассмотренного в примере 1. Заметим, что при больших наше преобразование сконцентрировано в окрестности

Полином 2 будет вести себя как линейная комбинация функций вида (3.4.14).

Пример 5 (колебание с мономиальной амплитудой). Положим тогда (3.4.10) обращается в

    (3.4.15)

т. е. в рассмотренную выше функцию примера 4, сдвинутую по частоте на величину .

Общее содержание этих примеров таково: в случае, когда — постоянная или медленно меняющаяся по t функция, амплитуда ее преобразования Фурье сосредоточена вблизи точек . Если гармоническое колебание частоты или гармоническое колебание частоты , умноженное на полином

то ее преобразование Фурье сосредоточено в окрестности

Преобразование (3.4.2) можно обратить с помощью интегрирования:

    (3.4.16)

С другой стороны, обратное преобразование получается и суммированием:

    (3.4.17)

Набор Т векторов размерности иногда называют дискретным преобразованием Фурье функции . В следующих двух параграфах мы рассмотрим способы его вычисления, а также ряд его свойств.

Дискретное преобразование Фурье можно представить в матричной форме. Пусть обозначает Т-матрицу со столбцами , расположенными в таком порядке, и пусть 3) обозначает Г-матрицу со столбцами . Пусть также есть Т-матрица с элементами строке и столбце при

Тогда нетрудно видеть, что

    (3.4.18)

В случаях получаются соответственно следующие матрицы:

    (3.4.19)

Общее исследование дискретного и конечного преобразований Фурье проводится в работах: Stumpff (1937), Whittaker, Robinson (1944), Schoenberg (1950), Cooley, Lewis, Welch (1967). Дальнейшие сведения даны в упражнениях к этой главе.