6.10. Рабочий пример

В качестве первого примера приведем исследование соотношения между рядом месячных средних температур в Берлине и рядом среднемесячных температур в Вене. Поскольку эти ряды обладают выраженной годовой изменчивостью, мы прежде всего посезонно выправим их, вычисляя средние значения для каждого месяца всего периода наблюдений и вычитая затем эти средние из соответствующих месячных величин. Если обозначает выправленный ряд для Берлина, то

    (6.10.1)

Пусть обозначает такой же выправленный ряд для Вены. Эти ряды представлены на рис. 6.10.1 и 6.10.2. Исходные ряды представлены на рис. 1.1.1.

(см. скан)

Рис. 6.10.1. Сезонно приведенный ряд среднемесячных температур по Цельсию для Берлина за 1920-1930 гг.

(см. скан)

Рис. 6.10.2. Сезонно приведенный ряд среднемесячных температур по Цельсию для Вены за 1920-1930 гг.

Выбранный нами для этих температурных рядов период включает в себя годы 1780—1950. Определим различные статистики таким же способом, как в § 6.4. Выбирая в действительности можно вычислить необходимые дискретные преобразования Фурье с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье. Для статистики положим

Результаты вычислений приведены на ряде рисунков. Рис. 6.10.3 представляет собой графики , первый из которых представлен верхней кривой. Если мы воспользуемся выражениями (5.6.15) и (6.6.12), то можем найти асимптотические стандартные ошибки этих величин, равные в обоих случаях 0.095 для . На рис. 6.10.4 изображен график величины изменяющейся вблизи значения 0.85; на рис. 6.10.5 - трафик величины , изменяющейся вблизи 0; на рис. 6.10.6 - график величины значения которой расположены вблизи 0.9; на рис. 6.10.7 представлен график значений расположенных вблизи 0; на рис. 6.10.8 — график величины которая изменяется вблизи 0.7. Напомним, что эта статистика указывает ту степень, в которой ряд У линейно определен рядом рис. 6.10.9 изображен график для Как следует из (6.8.7), асимптотическая стандартная ошибка этой статистики равна 0.009. Значение равно 0.85. Другие значения несущественно отличаются от 0.

Наши вычисления приводит к соотношению

    (6.10.2)

(см. скан)

Рис. 6.10.3. Оценки спектра мощности для температур в Берлине и спектра ошибок сезонно приведенного ряда температур в Вене за 1780-1950 гг. (логарифмический масштаб). (По горизонтали — частоты в цикл/месяц.)

(см. скан)

Рис. 6.10.4. Оценка действительной части передаточной функции для приведенного ряда температур Берлина температурами в Вене. (По горизонтали - частоты в цикл/месяц.)

(см. скан)

Рис. 6.10.5. Оценка мнимой части передаточной функции для приведенного ряда температур Берлина температурами в Вене. (По горизонтали — частоты в цикл/месяц.)

(см. скан)

Рис. 6.10.6. Оценка амплитуды передаточной функции для приведенного ряда температур Берлина температурами в Вене. (По горизонтали — частоты в цикл/месяц.)

(см. скан)

Рис. 6.10.7. Оценка фазы передаточной функции для приведенного ряда температур в Берлине температурами в Вене. (По горизонтали — частоты в цикл/месяц)

(см. скан)

Рис. 6.10.8. Оценка когерентности температур в Берлине и Вене за 1780-1950 гг. (По горизонтали — частоты в цикл/месяц)

(см. скан)

Рис. 6.10.9. Оценка коэффициентов фильтра для приведенного ряда температур в Берлине рядом температур в Вене. (По горизонтали — упреждение или запаздывание в месяцах.)

в котором спектр мощности имеет вид нижней кривой на рис. 6.10.3. Мы подправили мгновенное соотношение методом наименьших квадратов и пришли к простым регрессионным коэффициентам равным 0.81. Если допустить, что независимы и одинаково распределены, то соответствующая оценочная стандартная ошибка равна 0.015. Оценочная дисперсия ошибки равна 1.57.

В качестве второго примера приведем результаты частотной регрессии ряда среднемесячных температур, отмечавшихся в Гринвиче по отмеченным среднемесячным температурам в остальных тринадцати местах, указанных в табл. 1.1.1. Мы подвергнем эти ряды предварительной фильтрации, устранив месячные средние и линейный тренд. Исходные данные для этого случая представлены на рис. 1.1.1.

Построим оценки таким же способом, как в (6.4.1)-(6.4.5), полагая в них . Необходимые для этих вычислений преобразования Фурье мы определим при помощи алгоритма быстрого преобразования Фурье с . Для рассматриваемого случая на рис. 6.10.10 представлены где на рис. 6.10.11 изображен график на рис. 6.10.12 представлена величина определяемая

(см. скан)

Рис. 6.10.10, Оценочные амплитуды и фазы для сезонно приведенного вычитанием ряда температур в Гринвиче, полученные по подобным рядам температур других тринадцати станций за 1780-1950 гг.

(см. скан)

Рис. 6.10.10 (продолжение).

(см. скан)

Рис. 6.10.10 (продолжение).

(см. скан)

Рис. 6.10.11. Логарифм оценочного спектра ошибок для приведенного ряда температур в Гринвиче по температурам на остальных тринадцати станциях.

(см. скан)

Рис. 6.10.12. Оценка множественной когерентности ряда температур Гринвича и остальных тринадцати станций.

выражением (6.4.11). Спектр мощности для Гринвича приведен на рис. 7.8.8.

В табл. 6.10.1 приводятся результаты мгновенной множественной регрессии для ряда Гринвича по остальным тринадцати рядам. Оценочная дисперсия ошибки такого анализа равна 0.269. Квадрат множественного коэффициента корреляции этого анализа равен 0.858.

Оценочные амплитуды колеблются как функции от А, около горизонтальных уровней. Самые высокие уровни соответствуют Эдинбургу, Базелю и Де-Билту в указанном порядке. Вместе с тем, как следует из табл. 6.10.1, станции в Де-Билте, Базеле и Эдинбурге имеют наибольшие выборочные коэффициенты регрессии, убывающие в этом же порядке. Каждая из оценочных фаз соответствующих данным станциям, близка к константе вблизи нуля, что указывает на отсутствие опережающих или запаздывающих фаз и на мгновенность связей этих станций. Поскольку оценочные амплитуды остальных станций уменьшаются, функция оценочной фазы, как видно, становится более неустойчивой. Это же можно было предполагать из вида выражения. (6.6.9) для асимптотической дисперсии оценки фазы. Кроме того, наименьшая оценочная амплитуда соответствует Нью-Хейвену, штат Коннектикут, что можно объяснить большим удалением от Гринвича.

Таблица 6.10.1. Коэффициенты регрессии для ряда Гринвича по рядам для остальных городов

Как можно видеть, оценочная множественная когерентность близка к константе, равной 0.87. Эта константа близка

к величине 0.858, полученной при мгновенной множественной регрессии. Наконец, оценочный спектр ошибок постоянно убывает при возрастании .