5.7. Доверительные интервалы

Для того чтобы получить представление о возможной близости оценки к параметру, часто желательно по имеющейся оценке иметь доверительные интервалы для параметра. В этой связи могут использоваться асимптотические представления, полученные в предыдущем параграфе для различных спектральных оценок. Прежде всего введем некоторые обозначения. Пусть (а) обозначают числа, такие, что

    (5.7.1)

и

где — величина со стандартным нормальным распределением, а -величина, имеющая распределение хи-квадрат с v степенями свободы.

Рассмотрим сначала оценку § 5.4

    (5.7.3)

для числа близкого к . В теореме 5.4.3 предлагалось аппроксимировать распределение этой оценки распределением . Такая аппроксимация приводит к следующему 100-процентному доверительному интервалу для

что после логарифмирования дает

    (5.7.5)

В случае число степеней свободы и множители перед изменятся в. соответствии с теоремой 5.4.3.

На рис. 5.7.1 приведены 95-процентные границы около оценки, соответствующей случаю на рис. 5.4.4. Эти границы можно установить двумя способами. В верхней части рис. 5.7.1 действуем в соответствии с выражением (5.7.5). В нижней части рисунка устанавливаем границы около сильно сглаженной спектральной

оценки; такая процедура имеет свои преимущества при наличии больших пиков.

В § 5.5 мы рассматривали оценку

    (5.7.6)

включающую взвешенные ординаты периодограмм. Было найдено, что ее асимптотическое распределение является взвешенной суммой экспоненциальных величин. С таким распределением, вообще говоря, неудобно работать, однако при обсуждении теоремы 5.5.3 предлагалось приближать его распределением где

в случае . Выбрав такое значейие для v, мы приходим к следующему -процентному доверительному тервалу для

    (5.7.8)

Если то интервалы (5.7.8) и (5.7.5) совпадают.

Если v велико, то имеет асимптотически нормальное распределение со средним 0 и дисперсией, равной Поэтому для асимптотического распределения

(см. скан)

Рис. 5.7.1. Два способа построения -процентных доверительных границ около прибеденной на рис. 5.4.4 оценки спектра мощности. (По горизонтали — частоты в цикл/месяц.)

мы приходим к следующим границам для доверительного интервала:

Из последних непосредственно получаем приближение, предлагавшееся в § 5.6. Оценка, рассматривавшаяся там, имела вид

    (5.7.10)

Следствие 5.6.3 приводило нас к таким границам для -процентного доверительного интервала:

    (5.7.11)

Ввиду

    (5.7.12)

интервалы (5.7.11) и (5.7.9) необходимым образом согласованы. Интервалы (5.7.9) и (5.7.11) соответствуют случаю . В случае дисперсия оценки приблизительно удваивается, что указывает на необходимрсть расширения интервалов в раз.

В том случае, когда можно ожидать, что достаточно гладкая в некоторой окрестности точки X, возможны некоторые дополнительные процедуры. Мы можем оценить дисперсию величины по изменению (а) в окрестности точки . Такая процедура, например, может быть использована в интервале частот для ранее рассматривавшегося ряда ежемесячных средних чисел солнечных пятен.

В этом параграфе были построены доверительные интервалы для оценки спектра мощности в заданной точке X. Вне этих пределов могут оказаться только всех значений изучаемых величин. Иногда могут представлять также интерес доверительные области для целого диапазона частот. Woodroofe, Van Ness (1967) рассматривали асимптотическое распределение

переменной

когда при . Доверительную область для можно определить, исходя из этого асимптотического распределения.