9.5. Дальнейшие свойства главных компонент

Ряды главных компонент, введенные в § 9.3, могут быть истолкованы и в рамках обычного анализа многих переменных как главные компоненты. Возьмем -мерный стационарный временной ряд с матрицей спектральной плотности и пусть обозначает компоненту этого ряда с частотой X (см. § 4.6). Тогда, как показано в § 4.6

и 7.1, -компонентный действительный случайный вектор

имеет ковариационную матрицу, пропорциональную матрице

Стандартная методика изучения главных компонент величины (9.5.1) приведет нас к рассмотрению собственных значений и векторов (9.5.2). Согласно лемме 3.7.1, эти числа и векторы имеют вид

, где являются собственными значениями и векторами матрицы фигурирующими в теореме 9.3.1. Таким образом, анализ главных компонент стационарного ряда , который проводится в частотной области, — это обычный анализ главных компонент, примененный к индивидуальным частотным составляющим и их преобразованиям Гильберта.

Процедуры, рассмотренные в § 9.3, могут иметь самые разнообразные приложения. Вначале напомним введение к этой главе: пусть нас интересует передача -мерного ряда по каналам связи. Одно из решений возникающей при этом задачи дает теорема 9.3.1. С другой стороны, часто представляет интерес исследование серии рядов с одной действительной компонентой, содержащих полезную информацию об изучаемом -мерном ряде, в особенности если число компонент велико. В такой ситуации теорема 9.3.4 рекомендует сначала рассмотреть ряд, соответствующий наибольшему собственному значению, затем ряд, соответствующий второму по величине собственному значению, и т. д.

Но возможны ситуации, когда, напротив, полезно начать с рассмотрения рядов, отвечающих самым маленьким собственным значениям. Допустим, нам кажется, что ряд может удовлетворять некоторому инвариантному во времени линейному условию вида

    (9.5.4)

где К — константа, а -матрица нам не известна. В таком случае

    (9.5.5)

и в качестве имеет смысл выбрать векторный ряд главной компоненты, отвечающей из собственных чисел, занумерованных в порядке возрастания. Такой рецепт есть не что иное, как обобщение предложения Bartlett (1948а) применительно к многомерному случаю.

В некоторых других ситуациях может встретиться одна из разновидностей многофакторных аналитических моделей типа

    (9.5.6)

где -мерный ряд описывает q различных скрытых факторов, -фильтр представляет влияние факторов. Пусть нас интересует ряд который в определенном смысле является содержанием модели. Методы § 9.3 предлагают один из способов определения Если ряд не автокоррелирован, то процедура сводится к факторному анализу, столь часто применявшемуся психологами при психометрических исследованиях [Horst (1965)]. Обычно тогда интерпретируют отдельные главные компоненты и, пытаясь облегчить задачу интерпретации, совершают преобразования вращения или линейные преобразования над наиболее важными компонентами. Применительно к нашему изучению временных рядов подобная интерпретация чрезвычайно усложняется из-за того, что если является нормированным собственным вектором, отвечающим собственному значению , то тем же свойством обладает вектор когда комплексное число равно по модулю 1.

Другого рода трудность связана с тем, что собственные значения и векторы матрицы спектральной плотности не остаются инвариантными при лйнейной фильтрации ряда. В результате у рядов, которые заметно изменяются во времени, оказываются после фильтрации сильнее взвешены главные компоненты. Если ряды до и после фильтра регистрируются не в сопоставимых шкалах отсчета, то неизбежно возникают трудности. Одним из способов избежать больших сложностей явилась бы схема вычислений, основанная не на оценках матрицы спектральной плотности, а на оценках матрицы когерентностей

В заключение этого параграфа напомним читателю, что, как мы убедились в § 4.7, представление Крамера вытекает из своеобразного анализа главных компонент ряда, который проводится во. временной области. Другие применения анализа главных компонент при временном подходе встречаются в работах: Craddock (1965), Hannan (1961а), Stone (1947), Яглом (1965) и Craddock, Flood (1969).