7.5. Построение доверительных границ

После того как мы определили некоторые предельные распределения оценок спектра второго порядка, обратимся к построению доверительных границ для величины с использованием этих распределений. Начнем с оценки § 7.3. В случае оценка имеет вид

    (7.5.1)

для таких целых что близко к . К такой оценке мы пришли на основании теоремы 7.2.4, из которой следует, что величины

    (7.5.2)

можно рассматривать в качестве независимых оценок для Имея набор приближенно независимых оценок интересующего нас параметра, не представляет труда построить доверительные границы. Рассмотрим, например, случай . Положим для

В качестве оценки для 0 возьмем

    (7.5.4)

Положим

    (7.5.5)

Даже в том случае, когда основные переменные 0 не являются нормальными, статистическая практика показывает (см. гл. 31 в книге Kendall, Stuart (1961)), что распределение переменной

    (7.5.6)

может быть аппроксимировано -распределением Стьюдента с степенями свободы. Это приводит к следующим -процентным доверительным границам для

где означает -процентиль -распределения Стьюдента с у степенями свободы. В случае также воспользуемся теоремой 7.2.4.

Положив для

    (7.5.8)

можно аналогичным образом получить приближенный доверительный интервал для квадратурного спектра

Тесно связанный с рассмотренным метод построения границ приближенного доверительного интервала следует также из теоремы 7.2.5. В этом случае статистики для дают L приблизительно независимых оценок Поступая как прежде, положим

    (7.5.9)

После этого аппроксимируем распределение величины

-распределением Стьюдента с степенями свободы и найдем требуемые границы. Приближенные доверительные границы для квадратурного спектра находятся аналогично.

Результаты теоремы 7.4.4 и упр. 7.10.8 приводят к несколько иному способу построения. Пусть и оценка задана выражением (7.4.4). В таком случае согласно упр. 7.10.8 распределение будет приближенно нормальным со средним и дисперсией

    (7.5.13)

Выражение (7.5.13) допускает следующую оценку:

    (7.5.14)

откуда можно приближенным образом получить -процентный доверительный интервал

    (7.5.15)

где означает -процентную точку распределения стандартной нормальной величины. Приближенный интервал для квадратурного спектра можно получить аналогичным образом.

В заключение отметим, что некоторые полезные способы построения доверительных интервалов для можно вывести из приближений, которые рассматривали Freiberger (1863), Rosenblatt (1960) и Gyires (1961).