6.8. Оценивание импульсной характеристики
В предыдущем параграфе рассматривались вопросы оценивания передаточной функции 
. Теперь мы займемся задачей оценивания соответствующей функции импульсной характеристики 
. С использованием 
она задается выражением
(6.8.1)
Пусть 
является оценкой 
и имеет рассмотренный ранее вид. Пусть также 
— последовательность положительных целых чисел, стремящаяся к 
вместе с Г. В качестве оценки а 
рассмотрим
(6.8.2)
Заметим, что, пользуясь свойствами симметрии 
пределы суммирования в выражении (6.8.2) можно сократить до 
в членах 
. Заметим также, что оценка имеет период 
и поэтому, например,
(6.8.3)
Может быть доказана
Теорема 6.8.1. Пусть 
удовлетворяет условию 2.6.1 и имеет среднее 0. Пусть 
, удовлетворяет условию 6.5.2. Допустим, что 
задано выражением (6.1.1), в котором для 
выполнено условие 
Пусть далее 
(а) удовлетворяет условию 6.5.1, а 
задается выражением (6.8.2). Тогда
(6.8.4)
Мы видим, что при больших 
и малых 
математическое ожидание представляет собой по существу желаемое 
. Из этой теоремы вытекает
Следствие 6.8.1. Если выполнены условия теоремы 6.8.1 и 
при 
то 
является асимптотически несмещенной оценкой.
Обратимся теперь к изучению моментов второго порядка оценки 
Прежде всего определим
а после этого
(6.8.6)
Это выражение ограничено при тех условиях, которые мы считаем выполненными. Верна
Теорема 6.8.2. Если выполнены допущения теоремы 6.8.1 и 
при 
, то
(6.8.7)
Заметим, что из (6.8.6) следует, что асимптотически ковариационная матрица 
не зависит от и. Кроме того, асимптотически ковариационная матрица 
зависит от разности 
поэтому 
можно рассматривать в некотором смысле как процесс, имеющий ковариации стационарного временного ряда. Переходя к пределу, мы получим
Следствие 6.8.2. Если выполнены условия теоремы 6.8.2 и 
при 
, то 
является состоятельной оценкой 
.
Что касается совместного поведения 
то верна
Теорема 6.8.3. В допущениях теоремы 6.8.1
(6.8.8)
Мы видим, что 
асимптотически некоррелированны при всех и, Я. Для предельного распределения верна
Теорема 6.8.4. Если выполнены условия теоремы 6.8.1 и 
при 
, то 
асимптотически нормальны и имеют ковариационную структуру, задаваемую выражениями (6.6.10), (6.8.7) и (6.8.8).
В теореме 6.8.2 мы требовали, чтобы 
Из выражения (6.8.7) видно, что мы должны брать 
столь большим, на» сколько это возможно. Представляется разумным выбор 
поскольку в данном случае дисперсия а 
асимптотически имеет порядок 
Однако при этом мы не сможем из выражения
(6.8.7) выделить главный член. В случае же 
пре обладающим в (6.8.7) является первый член. В итоге мы можем асимптотически сравнить порядок этой дисперсии с порядком дисперсии величины 
