8.13. Другие типы оценок

Построенные нами оценки прироста амплитуды, фазы и когерентности в каждом случае являлись выборочными аналогами соответствующих параметров генеральной совокупности. Например, мы определили

а потом построили оценку

    (8.13.2)

Но в ряде случаев может оказаться предпочтительнее не столь прямой образ действий.

Например, выражения (8.6.11) и (8.6.13) показывают, что асимптотическое смещение имеет место для , если спектры будут не слишком мало меняться при а, близких к . Таким образом, если возможно, то следует предварительно профильтровать чтобы получить ряды, для которых спектры второго порядка почти постоянны. Следует оценить прирост амплитуды для этих профильтрованных рядов и построить оценку

С другой стороны, выражение (8.7.14) показывает, что

    (8.13.3)

(см. скан)

Рис. 8.13.1. График оценки фазового угла между рядом средних месячных температур (без сезонной составляющей) в Берлине и аналогичным рядом для Вены, умноженным на —1. При оценке усреднено 15 периодограмм.

Тем самым, если как функция 4, будет близка к константе, можно провести дальнейшее сглаживание и оценить величиной

    (8.13.4)

при некоторых построив по методу § 8.6.

Отметим, между прочим, возможность оценить в соответствии с (8.4.18) величиной

    (8.13.5)

В упр. 8.16.12 показано, что такая процедура приемлема не всегда. В качестве оценки фазы мы предложили

    (8.13.6)

Выражение (8.6.12) показывает, что является главным образом результатом нелинейного усреднения фазы с неравными весами. Это обстоятельство побуждает нас проводить, если это возможно, до оценивания фазы предварительную фильтрацию рядов, сглаживающую колебания кросс-спектра.

С другой стороны, можно было бы рассмотреть нелинейные оценки, которые не так чувствительны к изменениям весов.

Например, можно работать с оценкой вида

    (8.13.7)

или

    (8.13.8)

Вычисляя значения при построении оценки (8.13.8), необходимо быть внимательным, поскольку фазовый угол определен лишь с точностью до кратного

Эта неопределенность вызывает трудности и при графическом представлении . Можно получить совершенно неправильную картину, если быстро меняется или если велика Например, на рис. 7.2.5 показан график оценки фазового угла между рядами средних месячных температур в Берлине (с сезонной поправкой) и Вене, построенный по кросс-периодограмме. Интерпретировать этот график трудно, потому что, когда фаза испытывает небольшой скачок, скажем от , оценка изменяется от до , если изображать ее в промежутке . Один из способов уменьшить влияние этого эффекта — рисовать график каждой фазы дважды, выбирая два ее значения в промежутке Картинка особенно улучшится, если истинная фаза близка к . Например, на рис. 8.13.1 изображена оценка фазы, соответствующая усреднению 15 периодограмм между средними месячными температурами с сезонной поправкой в Берлине и отрицательными значениями таких средних температур для Вены, когда за область изменения принят промежуток . Если, как предлагалось, увеличить эту область изменения до то получится рис. 8.13.2. Tukey рекомендовал строить график для значений в промежутке и при этом пользоваться разными значками или линиями для различения фаз с главной областью изменения и фаз, принимающих значения в . Если так изобразить данные, относящиеся к Берлину и Вене, то получится рис. 8.13.3.

Имеется другая возможность — строить график оценки группового запаздывания, см. выражение (8.4.27). Тогда не возникает затруднений с произвольными добавками Вообще говоря, выбор лучшего графика, по-видимому, зависит , находящихся в распоряжении исследователя.

Обратимся теперь к другим оценкам когерентности. Смещение можно уменьшить, если провести предварительную фильтрацию фильтруемого ряда, а затем алгебраически вывести оценку когерентности.

(см. скан)

Рис. 8.13.2. Другой способ представить данные, приведенные на рис. 8.13.1 (областью изменения служит отрезок

(см. скан)

Рис. 8.13.3. Еще один способ изобразить данные, приведенные на рис. 8.13.1 (жирная линия соответствует значениям из промежутка .

Но можно использовать свойства преобразования arth, стабилизирующего дисперсию, и по аналогии с выражением (8.13.4) рассмотреть оценку

    (8.13.9)

Отметим, что воздействие этого преобразования проявляется в увеличении значений близких к 1, при малом влиянии на значения, близкие к 0. Высокие когерентности поэтому будут взвешены сильнее, если построить оценку (8.13.9). На рис. 8.13.4 изображен график для упоминавшихся рядов берлинских и венских температур, построенный на основе спектра второго порядка вида (8.5.4) при На графике 8.13.5 для (8.13.9) величина определена по спектру второго порядка вида (8.5.4) при затем положено Тем самым для двух последних графиков оказываются сравнимы полосы частот и стабильности. Заметно, что пики кривой на рис. 8.13.5 менее зазубрены, чем пики на рис. 8.13.4. Нелинейная комбинация коэффициентов корреляции рассмотрена в работах: Fisher Mackenzie (1922) и Rao (1965), стр. 365.

Tick (1967) приводит доводы в пользу того, что может быть близок к константе, в то время как не близок. (Такой случай представится, если при большом Он затем приходит к оценкам вида

    (8.13.10)

и предлагает также оценки вида

    (8.13.11)

если близок к константе, а спектр второго порядка не обладает таким свойством.

Jones (1969) рассматривал оценку максимального правдоподобия основанную на маргинальном распределении величин выводя его из предельного распределения теоремы 8.5.1.

Нельзя переоценить важность применения какой-либо из форм предварительной фильтрации рядов до оценки их параметров, рассмотренных в этой главе. В § 7.7 мы убедились в необходимости такой процедуры при оценке кросс-спектра двух рядов. Тем более следует применять ее, оценивая комплексный коэффициент

(см. скан)

Рис. 8.13.4. График - оценки когерентности рядов среднемесячных температур (без сезонной составляющей) в Берлине и Вене. При оценке усреднено 15 периодограмм. (По горизонтали — частоты в цикл/месяц.)

(см. скан)

Рис. 8.13.5. Оценка когерентности, основанная на выражении (8.13.9), при для рядов температур в Берлине и Вене. (По горизонтали — частоты в цикл/месяц.)

регрессии, когерентность и спектр ошибки. Akaike, Yamanouchi (1962) и Tick (1967) выдвинули убедительные аргументы в пользу предварительной фильтрации. В частности, имеется много физических примеров, в которых непосредственная обработка данных приводит к оценкам когерентности, близким к 0, в то время как физические соображения показывают, что соответствующие параметры не близки к 0. Техника предварительной фильтрации обсуждается в § 7.7, простейшим приемом является запаздывание одного ряда относительно другого.