К главе 8

Доказательство теоремы 8.2.1. Можно записать

равенство здесь достигается при выборе, указанном в (8.2.14) и (8.2.15).

Прежде чем обратиться к теореме 8.2.2, рассмотрим лемму, представляющую и самостоятельный интерес.

Лемма Д 8.1. Пусть выполнены условия теоремы 8.2.1. Векторная -компонентная функция Ф (X), для которой и которая минимизирует

представляет собой условное математическое ожидание

Доказательство. Мы можем переписать в виде

при этом равенство обеспечивается выбором

Доказательство теоремы 8.2.2. Если случайный вектор (8.2.20) имеет нормальное распределение, то

Это классический результат, приведенный, например, в Anderson (1957). Доказательство теоремы вытекает теперь из леммы Д 8.1.

Доказательство теоремы 8.2.3. Читатель может провести его по аналогии с доказательством теоремы 8.2.5, приведенным ниже.

Доказательство теоремы 8.2.4. Доказательство следует из очевидных неравенств, подобно доказательству теоремы 8.2.1.

Доказательство теоремы 8.2.5. Обозначим матрицы (8.2.25) и (8.2.26) через х и у соответственно. Тогда представим у в виде

где Столбцы матрицы — независимые величины с распределением Кроме того, не зависит от х.

Поэтому при фиксированном х, как показывает упр. 6.12.20, распределен по закону независима и имеет распределение . Тем самым при фиксированном имеет распределение. Но так как это распределение от х не зависит, оно будет совпадать с безусловным распределением. Далее, так что как и утверждалось. Кроме того,

Поскольку (см. упр. 8.16.47) и то выполняется (8.2.54). Асимптотическая нормальность а последует из совместной асимптотической нормальности элементов матриц на основании теоремы Д 5.2, так как а является дифференцируемой функцией этих элементов.

Остается показать независимость а и Пользуясь отмеченной ранее условной независимостью, можно для плотностей распределений написать соотношение

Отсюда вытекает, что

и доказательство завершено.

Доказательство теоремы 8.3.1. Пусть — передаточная функция фильтра Мы увидим, что она корректно определена.

Выражение (8.3.2) можно записать в виде

причем равенство достигается при выборе, указанном формулами (8.3.3) и (8.3.5).

Поскольку невырожденна, то из теоремы 3.8.3 следует, что , определенная формулой (8.3.5), является преобразованием Фурье абсолютно суммируемой функции.

Доказательство теоремы 8.3.2. Мы видели, что можно записать

где при всех . Поскольку ряды совместно нормальны, из равенства нулю этой ковариации следует независимость при всех . Поэтому

т. e. получаются соотношения (8.3.21) и (8.3.22).

Доказательство теоремы 8.5.1 следует из теоремы 7.3.3 и теоремы Д 5.1.

Доказательство теоремы 8.6.1. При сформулированных предположениях из теоремы 7.4.1 вытекает

Каждая из статистик является дифференцируемой функцией от Приведенные в теореме выражения выводятся теперь из теоремы статьи Brillinger, Tukey (1964).

Доказательство следствия 8.6.1 следует непосредственно из выражений (8.6.11)-(8.6.15) с учетом теоремы, сформулированной в упр. 1.7.4.

Доказательство теоремы. 8.7.1. Воспользовавшись тем, что — дифференцируемые функции элементов матриц можно записать разложения типа разложения по теории возмущений:

Используя их в сочетании с теоремой 7.4.3, можно вывести указанные асимптотические ковариации. Фактически же гораздо удобнее определить асимптотику ковариаций, воспользовавшись результатами § 8.2.

Начнем с того, что, согласно следствию 7.4.3, ковариации величин с частотами имеют порядок если Допуртим, что Тогда легко видеть, что асимптотически структура ковариаций для

та же самая, что для

где

Поэтому с точностью до первого порядка асимптотика ковариаций, полученная с помощью разложений по теории возмущений, окажется совпадающей с ковариациями, построенными по величине Тогда теорема 8.2.5 позволяет заключить, что в данном случае

а из теоремы 7.4.3 выводим, что

В случае когда можно заметить, что

поскольку предельное распределение, указанное в теореме 8.2.5, является комплексным нормальным. Кроме того,

В случае статистики принимают действительные значения, так что следует применить теорему 8.2.3. Мы получим

Тем самым полностью обоснованы формулы (8.7.1) и (8.7.2). Выражения (8.7.3) и (8.7.4) следуют из теорем 8.2.5 и 7.6.2.

Доказательство теоремы 8.8.1 вытекает из замечания, сделанного в начале доказательства теоремы 8.7.1 и из теорем 7.4.4 и Д 5.2.

Асимптотическая независимость и будет следствием обращения в нуль их асимптотической ковариации, вытекающего из теоремы 8.2.5.

Перед доказательством теоремы 8.10.1 удобно ввести ряд обозначений. Если определим

Теперь можно сформулировать лемму.

Лемма Д 8.1. Пусть выполнены условия теоремы 8.10.1. Тогда

при любом

Доказательство. Рассмотрим тождество

Норма правой части ограничена величиной

если — при

По теореме 7.7.5

для любого Следовательно,

что равняется равномерно по р. Отсюда и вытекает утверждение леммы.

Доказательство теоремы 8.10.1. Необходимо выяснить асимптотическое поведение

Мы знаем, что

Вначале отметим, что Далее получаем из упр. 7.10.41 (учитывая, что при

Тем самым ковариационная матрица величины

состоит из двух частей: одна содержит только спектры второго порядка, а другая — только спектры четвертого порядка.

Изучение позволяет нам сказать, что асимптотически вклад члена со спектрами второго порядка в равен

Условимся обозначать выражение в содержащее спектры четвертого порядка, как Поскольку в модели ряд не зависит от , соответствующие члены в будут

Следовательно, их вклад в равен

так как

Из всех этих соображений заключаем, что

поэтому

На основании упр. 7.10.42 теперь можно заключить, что асимптотически нормален. Сводя все эти рассуждения воедино, получаем нужный результат.

Доказательство теоремы 8.10.2. Подставив

получим

тем самым

Согласно упр. 7.10.36, величина асимптотически нормальна со средним 0 и

поэтому

Отсюда последует указанное асимптотическое распределение для так как сходится по вероятности к

Поскольку и имеет место то , так что приведенное предельное распределение вытекает из теоремы 4.4.1. Асимптотическая независимость следует из асимптотической независимости Далее

Следовательно,

Последнее выражение с учетом ранее установленной асимптотики распределений дает

т. е. указанное в теореме предельное распределение для . Доказательству теоремы 8.11.1 предпошлем лемму.

Лемма Д 8.2. Пусть последовательность случайных векторов, - постоянный вектор и последовательность чисел, сходящаяся к нулю. Предположим, что с вероятностью 1

Пусть имеет непрерывную производную в окрестности у. и Тогда

с вероятностью 1.

Доказательство. С вероятностью 1 вектор при больших Т попадет в упомянутую в теореме окрестность Будем считать, что он попал в эту окрестность. Так как имеет первую производную, то

при некотором из окрестности Непрерывность означает, что при стремится к , и тем самым утверждение доказано.

Доказательство теоремы 8.11.1. Теорема является следствием леммы Д. 8.2, теоремы 7.7.3 и теоремы 7.4.2.