К главе 5

Доказательство теоремы 5.2.1. Мы имеем

Выражение (5.2.6) получается теперь заменой

Доказательство теоремы 5.2.2. Поступая так же, как при доказательстве теоремы 4.3.2, получим с учетом (5.2.7) соотношение

и (5.2.8) непосредственно следует из приведенного выше выражения

Доказательство теоремы 5.2.3. Прежде всего заметим, что

Далее, имеем

Выражение (5.2.17) вытекает из того факта, что

Доказательство теоремы 5.2.4. См. приведенное ниже доказательство теоремы 5.2.5.

Доказательство теоремы 5.2.5. Из теоремы 4.3.2 имеем соотношение

дающее нужный результат.

Теперь сформулируем результат, который потребуется в следующем доказательстве, а затем и в других.

Теорема Д 5.1. Пусть последовательность -мерных векторных случайных величин сходится по распределению к случайной величине X. Пусть является -мерной векторной измеримой функцией, множество разрывов которой имеет меру X относительно 0. Тогда последовательность -мерных векторных величин сходится по распределению к случайной величине

Доказательство. См. Mann, Wald (1943а) и теорему 5.1 у Billingsley (1968).

Нам потребуется также и связанная с этой

Теорема Д 5.2. Пусть последовательнйсть -мерных векторных случайных величин сходится по распределению к . Пусть g: есть -мерная векторная функция, дифференцируемая в окрестности и имеющая -матрицу Якоби 3 в Тогда последовательность сходится по распределению к при

Доказательство. См. Mann, Wald (1943а, b) и Rao (1965, стр. 321).

Следствие Д 5.2 (действительнозначный случай). Пусть сходится по распределению к . Пусть в окрестности имеет производную g. Тогда при

Доказательство теоремы 5.2.6. Теорема 4.4.1 показывает, что суть асимптотически независимые переменные с распределением . Из теоремы Д 5.1 следует, что

имеет асимптотическое распределение Асимптотическая независимость для различных значений выводится таким же способом из асимптотической независимости

Доказательство теоремы 5.2.7. Эта теорема вытекает из теоремы 4.4.2, подобно тому, как теорема 5.2.6 вытекает из теоремы 4.4.1.

Доказательство теоремы 5.2.8. Из теоремы 4.3.2 следует, что

Нужный результат вытекает из соотношения

Доказательство теоремы 5.3.1. Эта теорема является непосредственным следствием упр. 4.8.23.

Доказательство теоремы 5.3.2 вытекает непосредственно из теоремы 4.5.1 и определения .

Доказательство теоремы 5.4.1. Эта теорема прямо следует из соотношения (5.2.6) теоремы 5.2.1 и определений Следствие вытекает из теоремы 5.2.2.

Доказательство теоремы 5.4.2 следует из теоремы 5.2.4.

Доказательство теоремы 5.4.3 следует из теоремы 5.2.6.

Доказательство теоремы 5.5.1. Эта теорема следует из соотношения (5.2.6), теоремы 5.2.1 и определений Следствие вытекает из теоремы 5.2.2.

Доказательство теоремы 5.2.2 следует из теоремы 5.2.4.

Доказательство теоремы 5.5.3 следует из теоремы 5.2.6 и теоремы Д 5.1.

Нам потребуется при доказательстве нескольких теорем следующая лемма.

Лемма Д 5.1. Если на отрезке [0, 1] функция имеет ограниченную полную вариацию V, то

Доказательство. См. Polya, Szego (1925, стр. 37); соответствующая ссылка имеется у Cargo (1966). Если функция g дифференцируема, то правая часть может быть заменена на

Дополнительные результаты содержатся в упр. 1.7.14 и 5.13.28.

Доказательство теоремы 5.6.1. Первое выражение в (5.6.7) следует непосредственно из соотношения (5.2.8) и определения (5.6.1).

Если мы воспользуемся приведенной выше леммой, чтобы приблизить возникшую сумму интегралом, то увидим, что

Это даст последнее выражение в (5.6.7).

Доказательство теоремы 5.6.2. Пользуясь теоремой 5.2.5, получим для нужной ковариации выражение

которое приводит к первому соотношению. Мы получим из него второе соотношение, заменив сумму интегралом и применив лемму Д 5.1.

Доказательство теоремы 5.6.3. См. доказательство теоремы 7.4.4.

Доказательство следствия 5.6.3 вытекает из теоремы 5.6.3 и следствия Д 5.2.

Доказательство теоремы 5.6.4. См. доказательство теоремы 7.7.1.

Доказательство теоремы 5.8.1. Ввиду (5.8.7) и того, что имеем

Это в свою очередь равно

что приводит к нужному результату, поскольку

Доказательство теоремы 5.8.2. Первое из соотношений в (5.8.18) следует непосредственно из определения и соотношения (5.8.9). Второе соотношение получается из первого, если пренебречь всеми членами, кроме первого, и применить лемму Д 5.1.

Доказательство следствия 5.8.2 получается подстановкой разложения Тейлора

во второе соотношение из (5.8.18).

Доказательство теоремы 5.9.1. Ниже мы будем писать X вместо Имеем

Нужный результат мы получим теперь следующим образом:

что дает

и, наконец,

Доказательство теоремы 5.9.2 получается непосредственно из теоремы 5.3.1.

Доказательство теоремы 5.10.1. Как следует из теоремы 5.2.2, для целых

Это дает первую часть (5.10.12). Вторая часть следует из леммы Д 5.1.

Далее, по теореме 4.3.2

что дает соотношение (5.10.13).

Обратимся к семиинвариантам высших порядков. Мы имеем

где внутренняя сумма распространена на все неразложимые разбиения таблицы

Принимая во внимание линейные ограничения, введенные для функций мы видим, что главный член этого семиинварианта имеет порядок

Рассматривая теперь переменные , мы видим, что все их совместные семиинварианты, порядок которых выше 2, стремятся к 0. Это означает, что указанные переменные асимптотически нормальны.

Доказательство теоремы 5.10.2 проводится так же, как и доказательство теоремы 5.9.1.

Доказательство теоремы 5.11.1. Чтобы избежать громоздких алгебраических выкладок, проведем доказательство только в случае Общий случай рассматривается аналогичным образом. Моделью здесь является

и оценка наименьших квадратов такова:

Поскольку из последнего выражения видим, что Кроме того,

Как следует из критерия сходимости ограниченной последовательности,

В то же время

поэтому

как и указано в (5.11.20). Для случая семиинвариантов высших порядков видим, что

согласно второму из условий 5.11.1. Отсюда вытекает, что для

при поэтому, как и утверждает теорема, асимптотически нормальна.

Рассмотрим теперь статистическое поведение Поскольку

имеем

Далее, для некоторых конечных М и М

в то время как для некоторого конечного

Таким образом,

для некоторого конечного N, поэтому

что с учетом теоремы 5.6.1 дает (5.11.21). Из этих неравенств следует также соотношение

показывающее, что асимптотическое распределение такое же, - как и полученное в теореме 5.6.3 распределение (Обозначение введено для величины, стремящейся к 0 по вероятности.)

Асимптотическая независимость получается из рассмотрения совместных асимптотических семиинвариантов.