К главе 7

Доказательство теоремы 7.2.1. Поскольку

имеем

Кроме того, справедливо представление Крамера

Из этого следует, что

Наконец, по формуле Парсеваля имеем

откуда вытекает (7.2.7).

Доказательство следствия 7.2.1. Положим для (Общий случай доказывается с помощью записи функции в виде суммы функции, обращающейся в нуль при и функции, обращающейся в нуль при Пользуясь преобразованием Абеля из упр. 1.7.13, мы получим

Если вариацию функции обозначить то

В то же время

Из соотношений видно, что сомножители в сась стремятся к 0 при если или если или Далее, рассмотрим

Разобьем область интегрирования на две: Так как функция непрерывна, величина в первой области может быть сделана выбором сколь угодно малой. Кроме того, здесь

Во второй области ограничена и, как вытекает из

Поэтому из следует, что стремится к 0 при Доказательство теоремы 7.2.2. Из теоремы 4.3.2 следует, что

Это приводит к нужному результату, если учесть, что

Доказательство следствия 7.2.2. Мы легко получим его, рассмотрев по порядку случаи

Доказательство теоремы 7.2.3. В теореме 4.4.2 показано, что являются асимптотически независимыми величинами с распределением . Далее, из теоремы Д 5.1 следует, что

где являются асимптотически независимыми величинами с распределением Заключение теоремы вытекает теперь из того, что

Доказательство теоремы 7.2.4 вытекает из теоремы 4.4.1 так же, как теорема 7.2.3 следовала из теоремы 4.4.2.

Доказательство теоремы 7.2.5. Оно получается непосредственно из упр. 4.8.23 и теоремы Д 5.1.

Доказательство теоремы 7.3.1. Из упр. 7.10.21 следует соотношение

для целых Если , то мы получим соотношение

приводящее к (7.3.6). Если или где Т четное, то

что приводит к (7.3.7). Если же а Т нечетное, то

и мы получим (7.3.8).

Доказательство следствия 7.3.1. В силу того что (а) является равномерно ограниченной функцией а, выражение из предыдущего доказательства стремится к при если . Это дает нужный результат.

Доказательство теоремы 7.3.2. Если суть такие целые числа, что то, как следует из упр.

С учетом того факта, что для

это дает (7.3.13) в случае , поскольку членов оценок одинаковы, в то время как другие члены имеют ковариацию Обратимся к случаю Из упр. 7.10.22(b) и того факта, что m членов одинаковы, следует, что ковариация имеет вид

и, как нетрудно проверить, это приводит к (7.3.13).

Доказательство теоремы 7.3.3. Эта теорема непосредственно вытекает из теоремы 7.2.4 и теоремы Д 5.1.

Доказательство теоремы 7.3.4 вытекает непосредственно из теоремы 7.2.1 и ее следствия.

Доказательство теоремы 7.3.5. Псевдосглаживающие множители

обладают для следующим свойством:

Далее, основное выражение в доказательстве теоремы 7.2.2 при подходящем изменении определений показывает, что

Это приводит к (7.3.18).

Доказательство теоремы 7.3.6 вытекает непосредственно из теоремы 7.2.5 и теоремы Д 5.1.

Доказательство теоремы 7.4.1. По теореме 7.2.1 для выполняется соотношение

Это дает первое выражение в (7.4.9). Приступая к доказательству второго равенства, заметим, что правая часть приведенного выше соотношения имеет вид

где в силу упр. 1.7.10 член равномерен по s. Пользуясь этим, мы получим

Второй член в правой части может быть сделан сколь угодно малым с помощью разбиения области суммирования на сегмент, где и потому и его дополнение, на котором стремится к нулю и ограничена. Это завершает доказательство (7.4.9).

Для соотношения (7.4.11) по теореме 4.3.2 имеем

с равномерным по s остаточным членом. Это дает первую часть (7.4.11). Вторая следует из леммы Д 5.1.

Доказательство теоремы 7.4.2 получается с помощью разложения как функции а в ряд Тейлора.

Доказательство теоремы 7.4.3. Из выражения (7.2.14) следует

с равномерным по остаточным членом. Это приводит к соотношению

дающему первое выражение в (7.4.15); второе вытекает из леммы Д 5.1.

Доказательство следствия 7.4.3 получается непосредственно из последней части соотношения (7.4.15).

Доказательство теоремы 7.4.4. Нами уже изучалось асимптотическое поведение первых и вторых моментов оценок. Для того чтобы доказать асимптотическую совместную нормальность, остается показать, что в указанных условиях все нормированные совместные семиинварианты порядка выше второго стремятся к 0 при

Мы имеем

Положим Кроме того, опустим нижние индексы не играющие существенной роли. Из теорем 2.3.2 и 4.3.2 следует, что семиинварианты

варианты в последнем соотношении задаются выражением

где суммирование производится по всем неразложимым разбиениям таблицы

обозначают число элементов в Семиинвариант принимает теперь вид

Наличие функций приводит к q линейным ограничениям, если если Это количество мы запишем как (Здесь обозначает целую часть.) Таким образом, семиинвариант имеет порядок

Поэтому

имеет порядок и стремится к 0 при для Нужный результат вытекает теперь из леммы Д 4.5.

Доказательство теоремы 7.6.1. Из теоремы 4.3.1 для следует соотношение

с равномерным по s остаточным членом. Это сразу приводит к первому выражению в (7.6.6); второе получается по лемме Д 5.1.

Далее, из теоремы 4.3.2 следуют соотношения

(см. скан)

дающие (7.6.7).

Для семиинвариантов более высоких порядков мы, пренебрегая нижними индексами, получим следующее соотношение:

(см. скан)

где внутреннее суммирование производится по всем неразложимым разбиениям таблицы

Принимая во внимание линейные ограничения, обусловленные функциями понятно, что главный член этого семиинварианта имеет порядок

Далее, рассматривая переменные , можно видеть, что все их совместные семиинварианты порядка выше второго стремятся к 0. Отсюда по лемме 4.5 следует указанная асимптотическая нормальность этих переменных.

Доказательство теоремы 7.6.2. Воспользуемся разложением в ряд Тейлора

для вывода (7.6.15) и (7.6.16) из (7.4.13) и (7.4.17) и применим теоремы из Brillinger, Tukey (1964). Утверждение об асимптотической нормальности следует из теоремы 7.4.4 и теоремы Д. 5.2.

Доказательство теоремы 7.6.3. Мы уже видели в теореме что, как и требуется, конечномерные распределения сходятся. Кроме того, равномерно по

так что достаточно рассмотреть процесс Таким образом, нужно показать полноту этого семейства вероятностных мер. Как следует из задачи 6 на стр. 41 монографии Billingsley (1968), для этого достаточно показать полноту маргинальных распределений вероятностей. Из теоремы 15.6 Billingsley (1968) вытекает, что в этом случае достаточно показать справедливость для некоторого конечного К неравенства

где Для имеем

Нетрудно убедиться, что

Из теоремы 7.6.1 видно, что все вторые моменты величин и сопряженных им меньше или равны для некоторого конечного L. Нам остается, таким образом, рассмотреть только

где Поскольку здесь области суммирования не пересекаются, семиинварианты в правой части имеют меньший порядок, и на самом деле выражение имеет вид

Далее, если то

Это дает нужный результат.

Прежде чем мы приступим к доказательству теоремы 7.7.1, отметим, что в силу инвариантности оценки относительно сдвига можно действовать так же, как в случае Докажем леммы, показывающие, что исправление среднего значения не приводит к асимптотическому различию со случаем

Лемма Пусть есть -мерный векторный ряд, удовлетворяющий условию и имеющий среднее 0. Пусть удовлетворяет условию , величина задается выражением (7.7.8) и для

Тогда равномерно по и

Доказательство. Положим Тогда

Теперь из теорем 5.2.3 и 5.2.8 получаем, поскольку ,

Из рассуждений в этих теоремах следует также, что равномерно по и

Отсюда вытекает соотношение

дающее нужный результат.

Лемма Д 7.2. Предположим, что выполнены условия теоремы. Допустим, что и

тогда равномерно по К

Доказательство получается непосредственно из леммы Д 7.1 и того факта, что

Доказательство теоремы 7.7.1. Лемма Д 7.2 показывает, что асимптотики для по существу совпадают с асимптотиками . Начнем с рассмотрения . Мы имеем

где

По теореме 4.3.2

поэтому

что дает (7.7.13).

Далее, по теореме 7.2.2

Покажем теперь, что равномерно по

Поскольку

можно записать следующим образом:

где по лемме для некоторого конечного Н

Подобный результат справедлив и для второго слагаемого исходного интеграла. Вычисленная таким образом ковариация имеет вид

откуда и следует нужное соотношение (7.7.14).

Далее, рассмотрим величины совместных семиинвариантов порядка К. Пренебрегая с этого момента нижними индексами а, b, имеем

Далее,

где суммирование ведется по всем неразложимым разбиениям таблицы

Поскольку разбиения неразложимы, в каждом множестве разбиения можно найти такой элемент что ни одна из разностей , не совпадает с Определим новых переменных Для ненулевых

Семиинвариант ограничен теперь величиной

для некоторого конечного М, где выбираются из выбираются из . Определив и применив лемму 2.3.1, мы увидим, что среди разностей — имеется линейно независимых. Положим для определенности, что это замену

мы увидим, что семиинвариант ограничен величиной

В предпоследней строке выражения величин задаются соотношением (2.6.7), а обозначают число элементов в множестве разбиения v. Как видно, нормированный совместный семиинвариант

для стремится к 0 при Это означает, что переменные асимптотически нормальны и имеют структуру моментов, указанную в теореме. Согласно лемме то же справедливо и для поэтому доказательство завершено.

Доказательство следствия 7.7.1 следует непосредственно из (7.7.13).

Доказательство теоремы 7.7.2 вытекает непосредственно из теоремы 4.5.1.

Доказательство теоремы 7.7.3. Мы докажем эту теорему посредством нескольких лемм, аналогичных леммам, использованным при доказательстве теоремы 4.5.1. Как следует из леммы Д 7.2, достаточно рассмотреть статистику соответствующую случаю с нулевым средним. Ниже, в доказательствах лемм, мы будем пользоваться обозначением

Лемма Д 7.3. Если выполнены условия теоремы, то для выбранных и достаточно малом а

Доказательство. При доказательстве теоремы 7.7.1 мы видели, что для некоторого конечного М

Поэтому

Теперь указанный результат вытекает из (7.7.21) при выборе достаточно малым, а также из того факта, что, согласно (7.7.14),

В рассуждениях ниже положим

Следствие. Если выполнены условия теоремы, то при заданном

для достаточно больших Т.

Лемма Д 7.4. Пусть для некоторого целого R; тогда

для некоторого конечного

Доказательство. Заметим сначала, что, поскольку функция равна 0 при достаточно больших значениях является целой функцией порядка Неравенство леммы Д 7.4 получается теперь тем же способом, каким доказали следствие 2.1 Woodroofe, Van Ness (1967), используя неравенство Бернштейна для целых функций конечного порядка [см. Тиман А. Ф. (1953)].

Лемма Д 7.5. При достаточно больших

Лемма Д 7.6. Пусть для заданных Тогда для некоторого конечного

Доказательство теоремы завершается доказательством аналогичных лемм для и применением леммы Бореля — Кантелли.

Доказательство теоремы 7.7.4. Положим для Тогда является тригонометрическим полиномом степени Из упр. 3.10.35(b) вытекает равенство

Пусть — положительное целое число, тогда

Как следует из упр. 3.10.28, последний интеграл здесь имеет порядок Мы видели при доказательстве леммы 7.7.1,

что Из этого следует, что Выбрав достаточно большое к, получим оба результата теоремы.

Доказательство теоремы 7.7.5. Для положительных целых k имеем неравенство

Из теоремы 7.4.4 следует, что равномерно по

Поэтому

Выбрав k достаточно большим, мы получим оба результата теоремы.

Доказательство теоремы 7.9.1. Как следует из леммы Д 6.3 и теоремы 4.4.2, справедливы соотношения:

где имеет распределение являются независимыми величинами с распределением — независимыми величинами с распределением Остюда следует, что

Вычислив ковариации, мы убедимся, что статистически независимы. Отсюда и следует статистическая независимость статистик, рассматриваемых в теореме. Справедливо равенство

В упр. 4.8.7 показано, что имеет распределение Справедливо также равенство

и, еще раз обратившись к упр. 4.8.7, заключаем, что имеет распределение Наконец, величина распределена Это завершает доказательство теоремы.