8.8. Асимптотическое распределение оценок

Укажем теперь предельные распределения для рассмотренных статистик. Начнем с такого утверждения.

Теорема 8.8.1. Пусть выполнены условия теоремы 8.6.1 и невырожденна при Тогда оценки асимптотически нормально распределены, и структура их асимптотических ковариаций определяется формулами (8.7.1) — (8.7.3). Величины асимптотически независимы.

Эта теорема окажется полезной при построении доверительных областей. Пользуясь теоремой 8.8.1 и выражением (8.7.1), заключаем, что при вектор асимптотически имеет распределение

    (8.8.1)

причем

    (8.8.2)

Из упр. 4.8.2 следует, что отдельные элементы матрицы являются асимптотически комплексными нормальными величинами; такое предположение высказал Parzen (1967а-с). Теорема 8.8.1. имеет

Следствие 8.8.1. При выполнении условий теоремы 8.8.1 асимптотически нормальны те функции от для которых невырождены матрицы, составленные из первых производных.

В частности, можно сделать вывод, что имеет асимптотически нормальное распределение с дисперсией

    (8.8.3)

Величина асимптотически лормальна с дисперсией

    (8.8.4)

асимптотически независимы при . Величина также асимптотически нормальна с дисперсией

    (8.8.5)

и, если асимптотически нормальна с той же дисперсией (8.8.5). Рассмотрение преобразований, стабилизирующих дисперсию [Kendall, Stuart (1968, стр. 93)], показывает, что распределение преобразованной величины может быть ближе к нормальному, чем до преобразования. Мы применим преобразованную величину при построении доверительных интервалов для когерентностей в следующем параграфе.

Отметим, что предельное распределение для приведенное в теореме 8.8.1, согласуется с результатом теоремы 8.5.1 при больших , если отождествить

    (8.8.6)

Распределения других величин также согласуются, так как распределение Уишарта при большом числе степеней свободы близко к нормальному.