4.4. Асимптотическое распределение конечного преобразования Фурье

В предыдущих параграфах были получены асимптотические выражения для совместных кумулянтов конечного. преобразования Фурье стационарных временных рядов. В настоящем параграфе мы используем найденные выражения при выводе предельного распределения этого преобразования. Введем обозначение Имеет место

Теорема 4.4.1. Пусть -компонентный ряд удовлетворяет условию 2.6.1. Пусть — такое целое число, что при для . Предположим, что для . Полагаем

    (4.4.1)

Тогда случайные величины асимптотически независимы и соответственно имеют распределение

. Кроме того, если то является величиной, асимптотически распределенной как и не зависящей от предыдущих величин, если же то является - величиной, не зависящей от предыдущих величин, и распределенной как

В случае имеем

    (4.4.2)

и наша теорема представляет собой центральную предельную теорему для ряда X (t). Другие варианты центральной предельной теоремы для стационарных последовательностей - приводятся в работах: Rosenblatt (1956, 1961), Леонов и Ширяев (1960), Iosifescu, Theodorescu (1969, стр. 22), Philipp (1969). Условия асимптотической нормальности коэффициентов Фурье исследованы Kawata (1965, 1966).

Если выполнены условия теоремы и то ведет себя примерно как выборка из распределения . Последнее замечание будет полезно позднее, когда появятся оценки и аппроксимации к интересующим нас статистикам.

Если при вычислении конечного преобразования Фурье ряда применяются множители сходимости, то справедлив следующий альтернативный вариант центральной предельной теоремы.

Теорема 4.4.2. Пусть -компонентный векторный ряд удовлетворяет условию 2.6.1. Предположим, что для Пусть

    (4.4.3)

удовлетворяет условию . Тогда являются асимптотически независимыми величинами с распределением Если то имеют асимптотически распределение и независимы от предыдущих величин, если то имеет асимптотически распределение и не зависит от предыдущих величин.

Если сглаживание всех компонент производится с помощью, одного и того же множителя то асимптотическая ковариационная матрица такова:

Налагая дополнительные условия регулярности на можно получить теорему, описывающую поведение когда последовательности частот стремятся к пределам см. Brillinger (1970) и упр. 4.8.20.

Величины оказываются асимптотически независимыми, если только не слишком близки друг другу по для . В упр. 4.8.23 определено асимптотическое поведение преобразований Фурье, построенных по непересекающимся отрезкам данных.

Предположим, что спектр мощности действительного стационарного ряда приблизительно равен постоянной, скажем, Согласно теореме 4.4.1, значения являются приблизительно независимыми величинами с распределениями , и, следовательно, значения будут почти независимыми - величинами. Займемся теперь частичной эмпирической проверкой этого заключения.

Рассмотрим ряд средних месячных температур в Вене за период с 1780 по 1950 г. Этот ряд, отрезок которого изображен на рис. 1.1.1, обладает ярко выраженной годовой периодической компонентой. Для того чтобы получить ряд с почти постоянным спектром мощности, мы попытались убрать эту периодическую компоненту, вычитая из каждого значения месячной температуры среднюю температуру для данного месяца, вычисленную по всему отрезку данных. А именно, был составлен ряд

    (4.4.5)

для Затем мы вычислили преобразование Фурье взяв так что можно было использовать алгоритм быстрого преобразования Фурье.

На рис. 4.4.1. и 4.4.2 представлены кривые вероятностных распределений соответственно для

Способ построения таких графиков изложен в работе Chernoff, Lieberman (1954). Оцениваемый спектр мощности этого ряда (явное выражение для спектра приведено в § 7.8) медленно меняется с ростом X и остается практически постоянным. Если каждая переменная имеет одно и то же маргинальное нормальное

(см. скан)

Рис. 4.4.1. График действительной части дискретного преобразования Фурье ряда среднемесячных (без сезонной составляющей) температур в Вене с 1780 по 1950 г., построенный на нормальной вероятностной бумаге.

распределение, то их значения на плоскости будут лежать вблизи прямой. Полученные нами графики отличаются от прямых, по сути дела, лишь на концах. Это подтверждает заключение теоремы 4.4.1 по крайней мере для таких рядов.

Теоремы, приведенные в этом параграфе, оправдывают замечание, которое часто встречается в литературе по теории связи: ряд, получающийся на выходе фильтра с узкой полосой пропускания, является приблизительно гауссовским; см. Rosenblatt (1961). Рассмотрим передаточную функцию фильтра с узкой полосой пропускания, центрированной на частоте

(О в противном случае.

Если на вход этого фильтра подается ряд то выражение (3.6.8) предыдущей главы показывает, что на выходе получится ряд, который аппроксимируется следующим образом:

    (4.4.8)

(см. скан)

Рис. 4.4.2. График мнимой части дискретного преобразования Фурье ряда среднемесячных (без сезонной составляющей) температур в Вене с 1780 по 1950 г., построенный, на нормальной вероятностной бумаге.

Здесь s — делая часть от поэтому . В случае когда согласно теореме 4.4.1, величина (4.4.8) будет иметь асимптотически распределение . По этому поводу см. также Леонов и Ширяев (1960), Picinbono (1959), Rosenblatt (1956). Полезный результат содержится в упр. 4.8.23, которое показывает, что конечные преобразования Фурье, построенные по последовательным отрезкам данных, будут при некоторых условиях асимптотически независимы и одинаково распределены.