2.7. Фильтры

При анализе временных рядов мы часто имеем возможность применять к ним некоторые преобразования. Важный класс преобразований составляют линейные операции, инвариантные во времени. Рассмотрим операцию, определенную на -компонентных векториых рядах и сопоставляющую ряду векторный ряд с s компонентами. Ряды составляют область определения, а ряды — область значений операции. Результат операции будем записывать следующим образом:

    (2.7.1)

Операция называется линейной, если для любых рядов которым применима эта операция, и для любых постоянных выполняется

    (2.7.2)

Далее, пусть для данного и обозначает ряд Операция называется инвариантной во времени, если

    (2.7.3)

Теперь можно дать следующее определение: операция переводящая -компонентные ряды в -компонентные и обладающая свойствами (2.7.2) и (2.7.3), называется -линейным фильтром.

Область определения -линейного фильтра можно расширить, включив в нее -матричные функции

Обозначим столбцы через , и положим

Область значений этой расширенной операции состоит из -матричных функций.

Важным свойством фильтров является способность преобразовывать гармоники в гармоники, а именно справедлива

Лемма 2.7.1. Пусть — линейная операция, инвариантная во времени, область определения которой включает -матричные ряды

    (2.7.5)

единичная матрица порядка г. Тогда существует -матрица такая, что

    (2.7.6)

Другими словами, линейная операция, инвариантная во времени, переводит комплексную экспоненту частоты X снова в комплексную экспоненту той же частоты. Функция А называется передаточной функцией операции. Заметим, что . Важный класс -линейных фильтров имеет вид

    (2.7.7)

где есть -компонентный векторный ряд, есть -компонентный векторный ряд, является последовательностью -матриц, удовлетворяющих условию

    (2.7.8)

Мы называем такой фильтр суммируемым и обозначаем его . Передаточная функция фильтра (2.7.7) задается формулой

Принимая во внимание (2.7.8), видим, что является равномерно непрерывной функцией Функция называется импульсным откликом фильтра, так как если область определения фильтра расширить до -матричных функций и на вход фильтра подать импульс

    (2.7.10)

то на выходе получится ряд

Назовем -фильтр реализуемым или физически осуществимым, если для Из (2.7.7) следует, что такой фильтр имеет вид

    (2.7.11)

так что для определения требуются значения лишь в настоящий и прошлые моменты времени. В этом случае область определения может быть расширена до множества —

Иногда нам понадобится применять целую серию фильтров к одному и тому же ряду. В этой связи приведем такую лемму.

Лемма 2.7.2. Если являются -суммируемыми фильтрами соответственно с передаточными функциями то представляет собой -суммируемый фильтр с передаточной функцией .

Если есть -суммируемый фильтр с передаточной функцией есть -суммируемый фильтр с передаточной функцией , то фильтр получающийся в результате применения сперва фильтра а затем является -суммируемым фильтром с передаточной функцией

Вторая часть этой леммы показывает, что наряду с коэффициентами фильтра, зависящими от времени, бывает удобнее рассматривать его передаточную функцию. Выражение для свертки

    (2.7.12)

заменяется произведением функций зависящих от частоты X.

Пусть -суммируемый фильтр. Если существует -фильтр такой, что

    (2.7.13)

то называется невырожденным или несингулярным. Фильтр называется обратным к фильтру Обратный фильтр существует, если, матрица невырожденна при — передаточная функция обратного фильтра равна

Иногда мы будем иметь -суммируемым фильтром. Так называется суммируемый фильтр, удовлетворяющий условию

Приведем два примера -суммируемых фильтров. Операция, задаваемая формулой

    (2.7.15)

является -суммируемым фильтром для всех и имеет коэффициенты

    (2.7.16)

а передаточная функция фильтра имеет вид

    (2.7.17)

График этой передаточной функции будет дан в § 3.2. Для М не слишком малых является функцией, грубо говоря, сосредоточенной вблизи частот Общий эффект воздействия такого фильтра состоит в сглаживании функций, к которым он применяется.

Точно так же операция, которая переводит в

    (2.7.18)

для всех -является -суммируемым фильтром с коэффициентами

    (2.7.19)

и передаточной функцией

    (2.7.20)

Эта передаточная функция, грубо говоря, сосредоточена в окрестностях частот . В результате применения этого фильтра пропадает медленно меняющаяся часть функции и выделяется ее быстро меняющаяся составляющая.

Мы часто будем применять фильтры к случайным процессам. В этой связи отметим следующую лемму.

Лемма 2.7.3. Если — стационарный -компонентный векторный ряд с — суммируемый -фильтр, то

    (2.7.21)

для существует с вероятностью 1 и является стационарным рядом с s компонентами. При этом если то

Эта лемма находит важное применение, позволяя получать новые стационарные ряды из уже имеющихся. Например, если — последовательность независимых, одинаково распределенных -компонентных векторов и -фильтр, то -компонентный векторный ряд

    (2.7.22)

строго стационарен. Он называется линейным процессом.

Иногда нам придется сталкиваться с линейной операцией, инвариантной во времени, для которой передаточная функция не обязательно являетсй преобразованием Фурье абсолютно суммируемой последовательности. В случае когда

    (2.7.23)

функцию на выходе такого фильтра возможно определить как предел в среднем квадратичном. Точнее, справедлива

Теорема 2.7.1. Пусть - -компонентный векторный временной ряд с абсолютно суммируемой автоковариационной функцией. Пусть -матричная функция, удовлетворяющая (2.7.23). Положим

    (2.7.24)

Тогда при существует

    (2.7.25)

Результаты такого рода рассматривались в работе Rosenberg (1964) в предположении, что, кроме условий теоремы 2.5.2, выполнено еще

Особенно важны для нас в дальнейшем будут два -фильтра, удовлетворяющих (2.7.23). Назовем -фильтр фильтром с полосой пропускания ширины центрированной на частоте V),

если его передаточная функция в области имеет вид

    (2.7.26)

Обычно А является малой величиной. Если фильтр называется низкочастотным. При передаточной функции (2.7.26) в результате фильтрации ряда

    (2.7.27)

где - постоянные, получается ряд

    (2.7.28)

здесь суммирование ведется по всем удовлетворяющим неравенству Другими словами, те составляющие частоты которых близки к остаются без изменений, в то время как другие составляющие устраняются при фильтрации.

Второй полезный -фильтр называется преобразованием Гильберта. Его передаточная функция чисто мнимая, она имеет вид — т. е.

    (2.7.29)

Если на вход фильтра с такой передаточной функцией подается ряд определяемый формулой (2.7.27), то на выходе получается ряд

    (2.7.30)

Ряд, который получается из с помощью преобразования. Гильберта, будет обозначаться

Лемма 2.7.4 показывает, как процедура комплексной демодуляции [Tukey (1961)] может быть использована для получения из низкочастотного фильтра новых фильтров с полосой пропускания, центрированной на произвольной частоте , а также для получения аналогов преобразования Гильберта.

В процессе комплексной демодуляции сначала мы образуем пару действительных рядов

для , а затем пару

где — низкочастотный фильтр. Ряды называются составляющими комплексной демодуляции ряда X (t). Они, как правило, будут существенно глаже, чем сам ряд поскольку — низкочастотный фильтр. Если затем составить ряды

для — то, как показывает следующая лемма, ряд по существу совпадает с выходом фильтра, пропускающего некоторую полосу частот, на вход которого подается по сути дела, получен из преобразования Гильберта

Лемма 2.7.4. Пусть - фильтр с передаточной функцией Операция, переводящая ряд , задаваемый формулой (2.7.33), линейна, инвариантна во времени и имеет передаточную функцию

Операция, переводящая ряд в ряд определяемый формулой (2.7.33), также линейна и инвариантна во времени. Ее передаточная функция равна

В частности, если

    (2.7.36)

где — малая величина, то функции (2.7.34) и (2.7.35) имеют вид

и соответственно

    (2.7.38)

Интерпретация и применение таких фильтров рассматриваются в работах: Бунимович (1949), Oswald (1949), Dugundji (1958), Deutsch (1962).