9.3. Ряды главных компонент

Вернемся к задаче отыскания -компонентного вектора -фильтра и -фильтра таких, чтобы оказался мал по величине -мерный ряд

    (9.3.1)

где ряд

Если в качестве меры величины ряда взять

    (9.3.3)

то ответ содержит

Теорема 9.3.1. Пусть есть -мерный ряд, стационарный в широком смысле, — его среднее, автоковариационная функция, являющаяся абсолютно суммируемой, — матрица спектральной плотности. Тогда (9.3.3) минимально при следующем выборе и

    (9.3.4)

и

    (9.3.6)

где

    (9.3.7)

и

Здесь обозначает собственный вектор матрицы . Если — соответствующее собственное значение , то минимальное значение (9.3.3) равно

    (9.3.9)

Эта теорема содержится в статье Brillinger (1969d).

Пусть обозначает передаточную функцию фильтра, который эквивалентен последовательному применению фильтра , а затем Заметим, что

имеет ранг, меньший либо равный q. Допустим теперь, что ряд , обладает представлением Крамера

    (9.3.11)

Тогда указанному в теореме экстремальному выбору соответствует ряд представимый в виде

    (9.3.12)

где задается выражением (9.3.7). Для компоненты получается формула

    (9.3.13)

Этот ряд называется рядом главной компоненты X (t). Приведем результат относительно рядов главных компонент.

Теорема 9.3.2. При выполнении условий теоремы 9.3.1 — ряд главной компоненты имеет спектр мощности а ряды для всех частот имеют когерентность 0.

Ряд обладает матрицей спектральной плотности

    (9.3.14)

Пусть ряд, наилучшим образом аппроксимирующий т. е. выбранный в соответствии с теоремой 9.3.1. Определим ряд ошибок формулой

    (9.3.15)

Выражение этого ряда через представление Крамера имеет вид

    (9.3.16)

Мы видим, что среднее равно 0, а матрицей спектральной плотности служит

    (9.3.17)

Так что степень аппроксимации рядом определяется тем, насколько близки к 0 при числа . Ясно также, что и матрица кросс-спектра и матрица кросс-спектра тождественно равны нулю.

Упомянем теперь несколько алгебраических свойств рядов главных компонент. Поскольку

    (9.3.18)

получается, что

    (9.3.19)

в то время как

    (9.3.20)

Поскольку, кроме того,

    (9.3.21)

ясно что

    (9.3.22)

и

    (9.3.23)

К сожалению, при фильтрации ряда соответствующее преобразование ряда главных компонент обычно не является элементарным. А именно, пусть к ряду применен -фильтр с передаточной функцией :

    (9.3.24)

Тогда матрица спектральной плотности результирующего ряда будет

    (9.3.25)

Собственные значения и векторы этой матрицы, как правило, не выражаются простым образом через собственные значения и собственные векторы . Имеется, однако, случай, когда эта связь дается удобным соотношением. Если матрица унитарна, то

и при этом

    (9.3.27)

Наложив дополнительные условия, из теоремы 9.3.1 можно вывести некоторые свойства регулярности фильтров

Теорема 9.3.3. Примем условия теоремы 9.3.1 и предположим еще, что

    (9.3.28)

при некотором . Пусть также все собственные значения матрицы различны. Тогда фильтры выражения для которых даны в теореме 9.3.1, обладают свойством

    (9.3.29)

С качественной точки зрения этот результат означает, что коэффициенты фильтров тем быстрее убывают к нулю при чем слабее зависимость ряда от времени. Применительно к ковариационным функциям рядов главных компонент и ряду ошибок в таком случае можно получить

Следствие 9.3.3. При выполнении условий теоремы 9.3.3

    (9.3.31)

и

    (9.3.32)

Имеется возможность ввести ряд главных компонент иначе, чем указано в теореме 9.3.1.

Теорема 9.3.4. Пусть выполнены условия теоремы 9.3.1, и пусть ряд из (9.3.13) принимает действительные значения и имеет вид

    (9.3.33)

где -матрица такова, что . Ряд имеет максимальную дисперсию и когерентность с рядами Эта максимальная дисперсия ряда равна

    (9.3.34)

Такой подход применялся в работах: Brillinger (1964а) и Goodman (1967); по сути дела, ряд главных компонент при этом определяется не прямо, а посредством рекуррентной процедуры.

Ряды главных компонент обладают более сильными свойствами оптимальности, чем указано в предыдущей теореме. Для удобства формулировки соответствующего утверждения предположим, что

Теорема 9.3.5. Пусть есть -мерный ряд со средним 0 и абсолютно суммируемой автоковариационной функцией; его матрица спектральной плотности. Тогда собственное значение матрицы спектральной плотности ряда

    (9.3.35)

построенного по

    (9.3.36)

(где есть есть -фильтр), будет минимальным и равным выбрать. по формулам (9.3.5) и (9.3.6) соответственно.

Собственные значения и векторы матрицы спектральной плотности используются в работах: Wiener (1930), Whittle (1953), Пинскер (1964), Koopmans (1964b) и Розанов (1963). Другой близкий по содержанию результат содержит лемма 11 монографии Dunford, Schwartz (1963), стр. 1341.