10.4. Построение оценок и их асимптотические свойства

Допустим, что мы располагаем отрезком

стационарного временного ряда с компонентами

    (10.4.2)

имеющего матрицу спектральной плотности

На основании этой информации мм хотим оценить собственнне значения и передаточные функции описанные в теореме 10.3.2. Очевидный способ действий — сначала

построить матрицу

т. е. оценку матрицы (10.4.3), а затем в качестве искомых оценок выбрать решения уравнений

    (10.4.6)

подчиняющиеся условиям нормировки

    (10.4.7)

Рассмотрим теперь статистические свойства получающихся оценок.

Предположим, что в качестве оценки (10.4.4) выбрана функция

где

и что с помощью некоторой весовой функции выражается как

    (10.4.10)

Тогда справедлива

Теорема 10.4.1. Пусть -мерный ряд (10.4.2) удовлетворяет условию 2.6.2 (1) и определим как решения системы уравнений

и

где

Выберем оценку (10.4.4) в виде (10.4.8) и потребуем, чтобы W (а) удовлетворяла условию 5.6.1. Величины определим из соотношений (10.4.5) и (10.4 6). Если при , то

    (10.4.14)

Если, кроме того, собственные значения матрицы различны, то

    (10.4.15)

и

    (10.4.16)

Если при то, очевидно,

    (10.4.17)

и

Теорема 10.4.1 свидетельствует о важной роли предварительной фильтрации. Распределения имеют своими средними решения уравнений (10.4.11) и (10.4.12), однако последние будут близки к искомым решениям (10.3.21) и (10.3.22) только тогда, когда взвешенное среднее (10.4.13) близко к (10.4.3). Рассчитывать на это можно с большим основанием, если подвергнуть предварительно наш ряд надлежащей фильтрации.

Возвращаясь к исследованию асимптотических распределений сформулируем такой результат.

Теорема 10.4.2, Предположим наряду с условиями теоремы 10.4.1, что собственные, значения различны при . Тогда случайные величины , имеют совместное асимптотически нормальное распределение и обладают следующей

асимптотической ковариационной структурой:

    (10.4.20)

А также (зависимость оцениваемых параметров распределений от опускаем)

    (10.4.23)

Аналогичные выражения для можно вывести из формул (10.2.84)-(10.2.87).

Из выражения (10.4.20) вытекает, что

величины асимптотически нормальны.

Используя эти результаты, можно построить приближенные доверительные границы для канонических когерентностей.

Результаты другого рода, касающиеся предельных распределений, можно получить, рассматривая спектральную оценку (8.5.4), соответствующую обычному усреднению фиксированного количества ординат периодограммы.

Теорема 10.4.3. Пусть векторный ряд (10.4.2) с компонентами удовлетворяет условию 2.6.1 и обладает матрицей

спектральной плотности (10.4.3). В качестве оценки этой матрицы возьмем (8.5.4), где — целые числа и при Далее, пусть

имеет распределение при при . Тогда при величины сходятся по распределению к величинам которые являются решениями уравнений

    (10.4.26)

и

    (10.4.27)

Распределение для приводят Constantine (1963) и James (1964). Результаты теорем 10.4.2 и 10.4.3 согласованы. При больших отождествим, как это делалось в § 5.7,

    (10.4.28)

Тогда из теорем 10.2.3 и 10.2.6 вытекает, что асимптотически нормальны и асимптотическая структура их первых и вторых моментов нам известна.