7.6. Оценки родственных величин

Пусть задан -мерный стационарный с ковариационной функцией и матрицей спектральной плотности Иногда представляют интерес оценки параметров, процесса

    (7.6.1)

для некоторой функции . Так, например, такими параметрами могут быть ковариационные функции

    (7.6.2)

или спектральные меры

    (7.6.3)

Пусть есть периодограмма отрезка данных

    (7.6.4)

тогда за оценку для очевидно, можно принять

    (7.6.5)

Для этой статистики справедлива

Теорема 7.6.1. Пусть -мерный ряд удовлетворяет условию 2.6.1. Если функции имеют ограниченную вариацию для всех , то

    (7.6.6)

Кроме того, асимптотически , имеют совместное нормальное распределение с указанными выше моментами первого и второго порядков.

Согласно теореме 7.6.1, статистика является асимптотически несмещенной состоятельной оценкой для Она основана на дискретном преобразовании Фурье и поэтому ее можно получить, используя преимущества алгоритма быстрого преобразования Фурье. Если выполняется условие , то остаточные члены, как и в теореме 5.10.1, имеют порядок

В случае оценки

    (7.6.8)

спектральной меры , соответствующей функции при в остальных случаях, выражение (7.6.7)

    (7.6.9)

Вопрос о сходимости мы обсудим несколько позже в этом параграфе. В случае оценки

ковариационной функции , соответствующей функции и в которой обозначает периодическое продолжение последовательности , из выражения (7.6.7) следует, что для и,

    (7.6.11)

В упр. 7.10.36 показано, что оценка ковариации

асимптотически нормальна и имеет ковариационную структуру (7.6.11).

Полезно в качестве параметров ввести следующие величины:

где — . Величина называется когерентностью ряда с рядом частоты X. Иногда мы будем называть когерентностью ряда с рядом частоты X также и квадрат модуля этой величины

Интерпретация параметра дается в гл. 8. Эта величина является комплексным аналогом коэффициента корреляции. Ее оценку дает выражение

В том случае, когда используются приведенные в § 7.4 оценки спектральной плотности, справедлива

Теорема 7.6.2. При соблюдении условий теоремы 7.4.3 для , заданной формулой (7.6.14), справедливы соотношения

    (7.6.16)

для . Переменные имеют асимптотически совместное нормальное распределение с ковариационной структурой, задаваемой выражением (7.6.16), где для краткости пишется вместо .

Асимптотическую ковариационную структуру оценок коэффй-циентов корреляции рассматривали Pearson, Filon (1898), Hall (1927) и Hsu (1949) для случая векторных переменных с действительными компонентами. Очевидно, можно развить иную теорию предельных распределений, взяв за рснову оценку и предельные распределения Уишарта по теореме 7.3.3. Такое распределение рассматривал Fisher (1962) для случая векторных пере» менных с действительными компонентами. Из теоремы вытекает

Следствие 7.6.2. При соблюдении условий теоремы 7.6.2 выполняются соотношения

    (7.6.18)

и для заданного J переменные имеют асимптотически совместное нормальное распределение с ковариационной структурой, задаваемой формулой (7.6.18), для

Дальнейшие вопросы, связанные с асимптотическим распределением величины будут обсуждаться в § 8.5, построение приближенных доверительных интервалов для будет проведено в § 8.9.

Введем пространство непрерывных справа функций, имеющих левосторонние пределы. В этом пространстве можно так ввести метрику, что оно будет полным и сепарабельным [Billingsley (1968, гл. 3)]. Пусть пространство есть пространство -матричных функций, элементы которых являются комплексными функциями, непрерывными справа и имеющими левосторонние пределы. Это пространство изоморфно и метризуемо так, что оно будет полным и сепарабельным. Пусть задана последовательность вероятностных мер РТ, на пространстве ; тогда будем говорить, что эта последовательность слабо сходится к вероятностной мере Р на , если

    (7.6.19)

при для всех действительных ограниченных непрерйвных функций h из . Если в этой ситуации определяется случайным элементом элементом X, будем говорить, что последовательность сходится по распределению к X.

Случайная функция очевидно, принадлежит пространству так же, как и функция . Справедлива

Теорема 7.6.3. Пусть -мерный ряд удовлетворяет условию Предположим, что оценка задана формулой (7.6.8). Тогда последовательность процессов сходится по распределению к -матричному гауссовскому процессу со средним

    (7.6.20)

где

Используя результаты гл. 4 книги Cramer, Leadbetter (1967), можно показать, что выборочная траектория предельного процесса ; непрерывна с вероятностью 1. В случае когда ряд гауссовский, спектры четвертого порядка обращаются в 0 и ковариационная функция (7.6.20) упрощается, В этом случае, положив при и при и приняв обе равными нулю в остальных случаях, из (7.6.7) получим для

    (7.6.21)

Таким образом, предельный процесс будет гауссовским с независимыми приращениями.

Основным следствием теоремы 7.6.3 является такой факт: если множество точек разрыва функции h на имеет вероятность 0 относительно процесса , то сходится по распределению к [Billingsley (1968)]. Используемая выше метрика в часто бывает неудобна. Если, однако, рассмотренный в теореме предельный процесс непрерывен, то согласно результату М. L. Straf из непрерывности h в метрике

и измеримости случайной функции следует сходимость по распределению h к . Так, например,

    (7.6.23)

сходится по распределению к

    (7.6.24)

где гауссовский процесс со средним 0 и

Рассматриваемая в теореме оценка имеет то неудобство, что она разрывна и тогда, когда соответствующие теоретические величины непрерывны и даже дифференцируемы. К непрерывной оценке приводит

Можно показать, что процесс

    (7.6.27)

сходится по распределению к гауссовскому процессу со средним 0 и ковариационной функцией (7.6.20).

Если и ряд является линейным процессом со средним 0, то, как показали Grenander, Rosenblatt (1957), имеет место слабая сходимость процесса

    (7.6.28)

Они рассматривали также слабую сходимость процесса

    (7.6.29)

где — оценка спектральной плотности с использованием весовой функции. Случай гауссовских процессов со средним 0 и интегрируемой с квадратом спектральной плотности рассматривали Ибрагимов (1963) и Малевич (1964, 1965). MacNeil (1971) изучал двумерные гауссовские процессы со средним 0. Brillinger (1969с) рассматривал случай -мерных процессов со средним 0, удовлетворяющих условию 2.6.2, и доказал сходимость в тонкой топологии. Clevenson (1970) занимался слабой сходимостью непрерывных процессов, рассматриваемых в теореме в случае гауссовских рядов с нулевым средним.