7.8. Рабочий пример

Чтобы привести пример полученной в § 7.3 оценки, обратимся к рядам, рассмотренным в § 7.2, где ряд представлял собой сезонную выборку среднемесячных температур в Берлине (1780—1950), а — сезонную выборку среднемесячных температур в Вене (1780—1950). На рис. 7.2.1-7.2.4 приводились периодограммы и кросс-периодограмма для этих рядов.

На рис. 7.8.1-7.8.4 этого параграфа изображены графики , для построения которых использовались оценки вида (5.4.1) и (7.3.2) при Из выражения (5.6.15) следует, что для десятичного логарифма обеих оценок спектра мощности стандартные ошибки равны приближенно 0.095. Интересно сопоставить форму ; в то время как значения R всюду положительны и примерно постоянны, за исключением заметных всплесков в нескольких частотах, просто колеблется около нуля, наводя на мысль, что Другие статистики для этого примера приводились в § 6.10.

Мы приведем здесь также оценки авто- и кросс-ковариационных функций этих двух рядов. На рис. 7.8.5 представлена оценка автоковариационной функции для ряда среднемесячных температур в Берлине с исключением сезонных эффектов. Подобная оценка автоковариационной функции для ряда, соответствующего Вене, приведена на рис. 7.8.6. На следующем рисунке (7.8.7) изображен график функции для

Все эти графики согласуются с гипотезой о мгновенности взаимодействия этих двух рядов. (Под мгновенностью здесь подразумеваются малые времена опережения или запаздывания по отношению к одному месяцу, поскольку данные ежемесячны.)

В качестве примера многомерных наблюдений рассмотрим ряд среднемесячных температур, зарегистрированных на станциях, перечисленных в табл. 1.1.1. Этот ряд был предварительно сезонно приведен вычитанием средних месячных температур по различным сезонам. В табл. 7.8.1 приведены значения ковариационной матрицы с нулевым запаздыванием . В табл. 7.8.2 содержатся корреляции с нулевым запаздыванием. За исключением ряда для Нью-Хейвена мы имеем сильно коррелированные ряды.

(см. скан)

Рис. 7.8.3. Оценка для коспектра температур Берлина и Вены за 1780-1950 гг. с осреднением по 21 ординате периодограммы. (По горизонтали — частоты в цикл/месяц.)

(см. скан)

Рис. 7.8.4. Оценка квадратурного спектра температур Берлина и Вены за 1780-1950 гг. с осреднением по 21 ординате периодограммы. (По горизонтали — частоты в цикл/месяц.)

(см. скан)

Рис. 7.8.5. Оценка ковариационной функции для температур Берлина. (По горизонтали — запаздывание в месяцах.)

(см. скан)

Рис. 7.8.6. Оценка ковариационной функции для температур Вены. (По горизонтали — запаздывание в месяцах.)

Матрица спектральной плотности была получена посредством статистики вида (7.3.2) с Ввиду многочисленности спектров второго порядка мы представляем лишь некоторые из них.

(см. скан)

Рис. 7.8.7. Оценка кросс-ковариационной функции для температур Берлина и Вены. (По горизонтали — запаздывание в месяцах.)

На рис. 7.8.8 приведены десятичные логарифмы оцениваемых спектров мощности. В основном они носят одинаковый характер. На рис. 7.8.9 приводится выборочная когерентность где за взят ряд наблюдений в Гринвиче и j пробегает оставшиеся номера рядов. Горизонтальная прямая каждой

Таблица 7.8.1. Ковариационная матрица для ряда среднемесячных температур (см. скан)

(см. скан)

Рис. 7.8.8. Логарифмы оценочных спектров мощности сезонно приведенных температурных рядов для различных станций при сглаживании по 115 ординатам периодограммы.

(см. скан)

Рис. 7.8.9. Оценочные когерентности сезонно приведенных ежемесячных средних температур в Гринвиче с такими же температурами на 13 других станциях за 1780-1950 гг.

(см. скан)

Рис. 7.8.9 (продолжение).

Таблица 7.8.2. Матрица выборочных корреляций для сезонно приведенного ряда (см. скан)

диаграммы соответствует квадрату корреляции с нулевым запаздыванием. Как видно, в каждом случае графики расположены около констант и колеблются вблизи горизонтальных прямых. Последнее наводит на мысль о мгновенной зависимости рядов, поскольку, если для , то для . Небольшая корреляция соответствует, как нетрудно видеть, Де-Билту, следом за ним идет Базель. Наименьшая корреляция соответствует Нью-Хейвену (Коннектикут), расположенному на противоположной стороне Атлантики.

На рис. 9.6.1 изображен график десятичного логарифма оценки спектра мощности, вычисленной по формуле (7.3.2) с Эти кривые более изменчивы, чем можно было ожидать из выборочной теории, развитой в этой главе.