8.3. Определение оптимального линейного фильтра

Применяя обозначения § 8.1, вернемся к задаче построения -мерного вектора и -фильтра , которые обеспечивают близость

    (8.3.1)

. Выбрав в качестве меры близости рядов эрмитову -матрицу

получаем такое решение:

Теорема 8.3.1. Пусть - компонентный векторный ряд (8.1.1) является стационарным второго порядка и имеет среднее (8.1.2) и автоковариационную функцию (8.1.3). Предположим еще у что абсолютно суммируемы, а матрица определенная в (8.1.4), невырожденна при Тогда минимизирующие (8.3.2) величины имеют вид

    (8.3.3)

и

    (8.3.4)

где

    (8.3.5)

Фильтр — абсолютно суммируемый. Минимальное значение (8.3.2) равно

    (8.3.6)

Функция заданная выражением (8.3.5), является передаточной функцией того -фильтра, для которого достигается, указанный минимум. Назовем комплексным коэффициент том регрессии на на частоте X.

Векторный -компонентный ряд

    (8.3.7)

в котором выражения взяты из теоремы 8.3.1, называется рядом ошибок. Как видно, этот ряд имеет среднее 0 и матрицу спектральной плотности

    (8.3.8)

Матрицу называют спектром ошибок. Можно переписать (8.3.8) в виде

    (8.3.9)

тем самым мы придем к измерению линейной зависимости от посредством -матрицы

    (8.3.10)

В случае выражение (8.3.10) называется множественной когерентностью на частоте X. Обозначим эту величину через и запишем

(В случае определяем когерентность Множественная когерентность, удовлетворяющая неравенству

    (8.3.12)

(см. упр. 8.16.35) выступает в качестве меры того, сколь точно можно определить действительную величину Y (t), применяя к -мерному векторному ряду линейные операции, инвариантные во времени. Записав

    (8.3.13)

мы видим, что соответствует некогерентному случаю, когда не уменьшает дисперсию ошибки. Значение соответствует полной когерентности, в этом случае ряд ошибок сводится к 0. Коэффициент множественной когерентности ввел Goodman (1963); см. также Koopmans (1964а, b).

В общем случае, когда s любое, кросс-спектр между компонентами ряда ошибок мы назовем частным кросс-спектром после удаления линейного воздействия и представим его выражением

    (8.3.14)

Когерентность этих компонент назовем частной когерентностью после удаления линейного воздействия

ее выражение имеет вид

Последние величины применяют для определения того, в какой мере существование явного линейного инвариантного во времени соотношения между рядами обязано наличию линейных связей каждого из этих рядов с X(t), см. Gersch (1972). Можно также ввести частный комплексный коэффициент регрессии на после удаления линейного воздействия как

    (8.3.16)

В соответствии с теми предположениями, которые можно сделать, изучая ситуацию для действительных величин, оказывается, что выражение (8.3.16) является элементом, отвечающим в матричном комплексном коэффициенте регрессии на -мерный векторный ряд

Тем самым возникает интерпретация отдельных элементов матричного комплексного коэффициента регрессии.

Указанные здесь величины, используемые при анализе частного кросс-спектра временных рядов, ввели Tick (1963) и Wonnacott, см. Granger (1964), стр. xiii. Более подробно они изучены в работах: Koopmans (1964b), Goodman (1965), Akaike (1965), Parzen (1967c) и Jenkins, Watt (1968).

В качестве примера рассмотрим значения введенных величин для модели

    (8.3.17)

где есть -мерный стационарный ряд с матрицей спектральной плотности есть -мерный стационарный ряд со средним 0, имеющий матрицу спектральной плотности , не зависящий от при всех запаздываниях, т. е. сдвигах аргумента в прошлое; есть -мерный вектор, а — абсолютно суммируемый -матричный фильтр. Легко проверить, что комплексный коэффициент регрессии на задается формулой

    (8.3.18)

Кроме того,

    (8.3.19)

и поэтому

    (8.3.20)

Если ряд (8.1.1) гауссовский, то , введенные в теореме 8.3.1, можно охарактеризовать и иначе.

Теорема 8.3.2. Если выполнены условия теоремы 8.3.1 и ряд (8.1.1) гауссовский, то для , определенных в (8.3.3) и (8.3.4),

    (8.3.21)

Далее,

Библиографические ссылки на изложенный материал для случая включают работы Wiener (1949), Солодовникова (1950), Koopmans (1964а) и Blackman (1965). Между подходом, рассмотренным в этом параграфе, и подходом гл. 6 имеется целый ряд связей. Главное же отличие в сделанных предположениях состоит в том, что теперь ряд предполагается не детерминированным, а стохастическим. В гл. 6 рассматривалась модель связи между рядами

    (8.3.23)

в которой вектор постоянен, а суммируемый фильтр, а — ряд ошибок с нулевым средним. Упражнение 8.16.33 должно показать, что такая модель осуществляется при условиях теоремы 8.3.1.

Мы закончим этот параграф примером применения теоремы 8.3.1. Допустим, что — независимые стационарные -компонентные векторные ряды с нулевыми средними, и рассмотрим ряд

    (8.3.24)

Можно интерпретировать ряд как полезный сигнал на фоне шума, описываемого рядом . Предположим, чтонам желательно аппроксимировать рядом, полученным фильтрацией Матрица спектральной плотности имеет вид

Согласно выражению (8.3.5), передаточная функция наилучшего линейного фильтра, предназначенного для определения по задается формулой

    (8.3.26)

Эта функция называется избирательным фильтром - для сигнала присутствующего в шуме Как видно, его основное свойство заключается в том, что частотные компоненты из интервала частот, где значение очень велико по сравнению с этим фильтром не пропускаются, и в то же время пропускаются почти без изменений компоненты из интервалов, где значение мало по сравнению с . При величина называется отношением сигнала к шуму на частоте .