5.10. Оценки спектральной меры и ковариационной функции

Пусть действительный ряд с ковариационной функцией и спектральной плотностью . Во многих ситуациях интересно

знать оценку спектральной меры

    (5.10.1)

введенной в § 2.5. Точно так же во многих ситуациях интересно оценить ковариационную функцию

    (5.10.2)

а также широкополосную оценку спектрального среднего

    (5.10.3)

где - весовая функция с периодом сконцентрированная около точек .

Выражения (5.10.1), (5.10.2) и (5.10.3) являются частными случаями более общего:

    (5.10.4)

для некоторых функций По этой причине мы займемся кратким исследованием оценки (5.10.4) для заданных функций Л (а). Эту задачу рассматривал Parzen (1957).

В качестве первой оценки рассмотрим статистику

    (5.10.5)

где периодограмма, построенная по значениям Применение в качестве статистики дискретной суммы со значениями в точках дает возможность использовать для вычислений алгоритм быстрого преобразования Фурье.

Положим

    (5.10.6)

что приводит к следующей оценке спектральной меры

    (5.10.7)

Положим

    (5.10.8)

что приводит, согласно упр. 3.10.8, к оценке круговой ковариационной функцией

(Здесь , — периодическое продолжение с периодом Т.) Выбор функции

    (5.10.10)

приводит нас к рассмотрению спектральной оценки вида

В упр. 5.13.31 приведена статистика, которая иногда используется в стационарных гауссовских рядах для проверки гипотезы о наличии у ряда спектра мощности Справедлива

Теорема 5.10.1. Пусть действительный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.2 (1). Пусть функции ограничены и имеют ограниченную вариацию для Тогда

    (5.10.12)

Далее,

    (5.10.13)

Кроме того, асимптотически имеют совместное нормальное распределение и указанную выше структуру первых и вторых моментов.

Из выражения (5.10.12) видно, что является асимптотически несмещенной оценкой для Она является также и

состоятельной оценкой ввиду того, что ее дисперсия стремится к 0, когда

Если выбрать согласно (5.10.6), то формула (5.10.13) приводит к следующему выражению для оценки спектральной меры :

    (5.10.14)

В случае оценки ковариационной функции , заданной выражением (5.10.8), из (5.10.13) следует

    (5.10.15)

В случае широкополосной спектральной оценки (5.10.10) из (5.10.13) следует

В случае постоянной весовой функции спектральные оценки не будут асимптотически независимы, как это было раньше.

Если вычислены оценки , то мы можем подставить их в выражение (5.10.13) и получить оценку для

Рис. 5.10.1. График для среднемесячных чисел солнечных пятен за 1750-1965 гг. (По горизонтали — частоты в цикл/месяц.)

дисперсии Если при этом использовать асимптотическую нормальность этой оценки, то можно получить приближенные доверительные границы для этого параметра.

В некоторых ситуациях предпочтительнее использование оценки с непрерывной весовой функцией

    (5.10.17)

где - выборочная ковариационная функция, определенная выражением (5.9.4) и

    (5.10.18)

Так, например, в случае мы получйм выборочную ковариационную функцию в отличие от круговой функции, полученной ранее.

Оценка (5.10.17) ненамного отличается от оценки (5.10.5); справедлива

Теорема 5.10.2. Пусть ограниченная функция, имеющая ограниченную вариацию. Пусть ,

удовлетворяет условию 2.6.2 (1). Тогда

    (5.10.19)

Как видно, эти две оценки близки для больших Т и их асимптотические распределения совпадают.

Приведенная в (5.10.7) оценка спектральной функции иногда может оказаться очень полезной для обнаружения периодических компонент ряда и для оценки достоверности предлагаемой модели, в особенности модели белого шума. На рис. 5.10.1 даны значения ежемесячных средних чисел солнечных пятен. Периодограмма этого ряда была приведена в § 5.2. График спектральной функции исключительно сильно растет в низких частотах и несколько слабее в верхних. Если постоянна в некотором интервале, то растет линейно в этом же интервале. Этого нельзя сказать о графике на рис. 5.10.1, за исключением разве лишь частот выше

Выборочная ковариационная функция также может оказаться весьма полезной при изучении структуры ряда. На рис. 5.10.2 и 5.10.3 представлены графики для рядов соответственно ежегодных и ежемесячных средних чисел солнечных пятен. Хорошо видна заметная корреляция значений ряда с расстояниями, кратными приблизительно 10 годам. Пик в нуле на рис. 5.10.3 указывает на присутствие ошибки измерений.

Асимптотические свойства ковариационной функции рассматривались Слуцким (1934) для случая гауссовских процессов с нулевым средним. Bartlett (1946) распространил асимптотическую теорию моментов второго порядка на случай линейных процессов с нулевым средним. Вопросы асимптотической нормальности рассматривали Walker (1954), Lomnicki, Zaremba (1957b, 1959), Parsen (1957), Rosenblatt (1962), Anderson T. W., Walker (1964). Как отмечал Akaike (1962a), иногда удобно рассматривать как стационарный временной ряд со спектром мощности . Это соответствует сохранению только второго члена в правой части (5.10.15). Brillingen (1969с) указал две формы сходимости с вероятностью единица и вывел слабую сходимость оценки к гауссовскому процессу.

(см. скан)

Рис. 5.10.2. Оценка ковариационной функции для среднегодовых чисел солнечных пятен за 1750-1965 гг. (По горизонтали — запаздывание в годах.)

(см. скан)

Рис. 5.10.3. Оценка ковариационной функции для среднемесячных чисел солнечных пятен за 1750-1965 гг. (По горизонтали — запаздывание в месяцах.)