9.4. Построение оценок и их асимптотические свойства

Предположим, что в нашем распоряжении имеется отрезок -мерного ряда с матрицей спектральной плотности и мы хотим получить оценки собственных значений и векторов этой матрицы, т. е. . Существует, очевидно, такой способ оценки: построить оценку матрицы спектральной плотности и взять собственные значения и собственные векторы в качестве оценок для с теми же номерами. Займемся выяснением некоторых статистических свойств получающихся на таком пути оценок.

В гл. 7 обсуждались процедура построения оценок матрицы спектральной плотности и асимптотические свойства этих оценок. Одна из приводившихся оценок имела вид

    (9.4.1)

где есть матрица периодограмм второго порядка:

    (9.4.2)

— весовая функция, в выражение которой

    (9.4.3)

входят функция , сконцентрированная в окрестности и последовательность неотрицательных чисел

параметров ширины полосы пропускания. Воспользовавшись этими обозначениями, сформулируем теорему.

Теорема 9.4.1. Пусть есть - компонентный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.2 (1). Пусть — собственные значения и собственные векторы матрицы

    (9.4.4) , — собственные значения и соответствующие собственные векторы матрицы из (9.4.1). Предположим, что функция W (а), по которой определяется , удовлетворяет условию 5.6.1. Если при , то

    (9.4.5)

Если, кроме того, среди собственных значений нет одинаковых, то при всех

    (9.4.6)

и

    (9.4.7)

При больших значениях ВТТ в силу теоремы 9.4.1 распределения собственных значений и собственных векторов имеют математические ожидания, мало отличающееся от соответствующих собственных значений и векторов матричного среднего (9.4.4). А если к тому же при , то, очевидно,

    (9.4.8)

и

Собственные значения и векторы матрицы (9.4.4) окажутся близкими к интересующим нас величинам в том случае, когда почти постоянна. Это обстоятельство вновь указывает, что прежде чем строить оценки интересующих нас параметров, имеет смысл профильтровать имеющиеся в распоряжении данные, с тем чтобы получить почти постоянный спектр. Следующая теорема освещает некоторые аспекты связи между

Теорема 9.4.2. Пусть -матрица спектральной плотности имеет вид

    (9.4.10)

где

    (9.4.11)

Пусть функция в выражении (9.4.3) для такова, что и

    (9.4.12)

Предположим, что все собственные значения , матрицы различны. Если при то для всех

    (9.4.13)

и

    (9.4.14)

Теоремы 9.4.1 и 9.4.2 показывают, что асимптотические отклонения оценок очень тесно связаны со степенью гладкости спектральной плотности при а, близких к , а также с параметрами , фигурирующими в определении весовой функции .

Обратимся теперь к изучению асимптотических распределений для

Теорема 9.4.3. При выполнении условий теоремы 9.4.1, если для каждого собственные значения матрицы различны, то величины

, асимптотически совместно нормальны. При этом

    (9.4.15)

Эти предельные выражения можно сопоставить с асимптотическими соотношениями в теоремах 9.2.2 и 9.2.4; Асимптотическую независимость величин, зависящих от частот таких, что можно было предвидеть, поскольку соответствующие асимптотически независимы. Более неожиданным является утверждение теоремы 9.4.3 об асимптотической независимости разных собственных векторов.

Из выражения (9.4.15) вытекает, что

    (9.4.18)

Полученная формула является аналогом результата (5.6.15) о дисперсии логарифма оценки спектра мощности. Справедливость этой формулы неудивительна, если вспомнить интерпретацию, данную величинам в теореме 9.3.2: они представляют собой спектры мощности рядов главных компонент. Выражение (9.4.18) позволяет предположить, что в качестве основной статистики имеет смысл взять не .

К предельному распределению другого вида можно прийти, рассматривая спектральные оценки § 7.3:

В теореме 7.7.3 было установлено, что в этих трех различных случаях данная оценка имеет асимптотически при распределение

Последнее сразу же позволяет получить такой результат.

Теорема 9.4.4. Пусть для -мерного ряда выполняется условие 2.6.1. Пусть фиксировано, а стремится к X при Если — собственные числа и векторы матрицы (9.4.19), то при они сходятся по распределению к собственным значениям и векторам случайной величины, имеющей распределение а при — к собственным значениям и векторам случайной величины с распределением Оценки на частотах для которых асимптотически независимы.

Распределение собственных значений матричных случайных величин с действительным или комплексным распределением Уишарта было получено в работе James (1964).

Распределения, приведенные в теоремах 9.4.3 и 9.4.4, не являются несогласованными друг с другом. Отождествив, как в § 5.7 и § 7.4,

    (9.4.20)

мы установим при больших с помощью теорем 9.2.2 и 9.2.4, что собственные значения и собственные векторы асимптотически нормальны и имеют надлежащие асимптотики первых и вторых моментов.

Результаты этого параграфа можно применить для приближенного определения доверительных границ величин . Например, из теоремы 9.4.3 и рассуждений § 5.7 можно получить такое приближенное выражение для доверительного интервала величины с уровнем доверия

    (9.4.21)

В то же время результат упр. 9.7.5 показывает, что может оказаться полезной - аппроксимация распределения

    (9.4.22)

где

    (9.4.23)

Далее, действуя в духе § 6.2, можно было бы использовать эту аппроксимацию при определении доверительных областей для величин

Большая часть материала данного параграфа взята из статьи Brillinger (1969d).