7.3. Оценка матрицы спектральной плотности путем осреднения периодограммы

Теорема 7.2.4 наводит на мысль о построении достаточно гибкой оценки для Если

    (7.3.1)

то из этой теоремы следует, что для целых таких, что близко к распределение величин аппроксимируется независимыми распределениями . Следовательно,

имеет смысл рассматривать оценку

Дальнейшее изучение результатов теоремы приводит к оценке

    (7.3.3)

в случае или и четного Т; в случае же и нечетного Т приходим к оценке

    (7.3.4)

Оценки основаны на вычислении дискретных преобразований Фурье и имеют, - очевидно, те же свойства симметрии и периодичности, что и Относительно этих оценок справедлива

Теорема 7.3.1. Пусть есть -мерный векторный ряд со средним значением и кросс-ковариационной функцией для Предположим также, что

    (7.3.5)

а задано выражениями Тогда в случае

    (7.3.6)

а в случае или и четного Т математическое ожцдание величины равно

    (7.3.7)

наконец, в случае и нечетного Т имеем для выражение

    (7.3.8)

Здесь для —

    (7.3.10)

и

Функции являются неотрицательными весовыми функциями. Первая имеет пики в точках и ширину, равную приблизительно Вторая и третья приблизительно также сконцентрированы в интервалах ширины около точек однако имеют провал непосредственно в этих частотах. На рис. 5.4.1 они изображены для Во всяком случае, значение будет близко к требуемому если близка к константе в полосе ширины около . Переходя к пределу, получим

Следствие 7.3.1. Если выполнены условия теоремы 7.3.1 и при то для —

    (7.3.12)

Как и следовало ожидать, оценка асимптотически несмещенная. Рассмотрим теперь ее некоторые свойства второго порядка.

Теорема 7.3.2. Предположим, что -мерный ряд удовлетворяет условию 2.6.2, a задано выражениями

(7.3.2)-(7.3.4), причем . Тогда

если при

Нетрудно видеть, что моменты второго порядка убывают по величине, когда возрастает. Выбирая , асимптотически можно устранять изменчивость оценки до желаемого уровня. Как видно, статистики будут асимптотически некоррелированными в случае Добавим также, что выражение (7.3.13) имеет особенности в точках Это происходит по двум причинам: неизвестно среднее значение кроме того, принимает действительные значения в этих точках. Заметим, что оценка в условиях последней теоремы несостоятельна, однако в следующем параграфе состоятельные оценки будут построены.

Вернемся к дальнейшему развитию приближений по большим выборкам распределения

Теорема 7.3.3. Пусть -мерный векторный удовлетворяет условию 2.6.1, а оценка задается выражениями причем при . Тогда имеет асимптотическое распределение если . Кроме того, асимптотически независимы при для

Как видно, маргинальные распределения диагональных членов асимптотически совпадают с теми, были получены ранее. Диагональные элементы имеют предельные распределения указанные в теореме 5.4.3. Стандартизированные элементы, стоящие вне диагонали, имеют асимптотические плотности, приведенные в упр. 7.10.15.

Приближение распределения величины комплексным распределением Уишарта было получено в работе Goodman (1963). Wahba (1968) рассматривал случай гауссовских рядов и . Настоящий случай со средним 0 рассматривал Brillinger (1969с).

Результаты, аналогичные теоремам могут быть также получены для случая сглаженных данных, сгруппированных на L непересекающихся интервалах по V наблюдений в

каждом. Положим для

    (7.3.14)

где обращается в нуль при . Для определим

Как следует из теоремы 7.2.5, оценки являются асимптотически независимыми переменными, распределенными как если и распределенными как если . Естественно ввести оценку

    (7.3.16)

относительно которой справедлива

Теорема 7.3.4. Пусть выполнены условия теоремы 7.3.1, а функция , равная нулю при , удовлетворяет условию 4.3.1 и Если оценка задана выражением (7.3.16), то при

где .

Эта теорема непосредственно связана с теоремой 7.2.1 и является ее следствием. Интересно заметить, что взвешенное среднее величины фигурирующей в выражении (7.3.17), сконцентрировано в интервале ширины, пропорциональной

Теорема 7.3.5. Предположим, что -мерный векторный ряд удовлетворяет условию 2.6.1. Пусть функция , равная нулю при удовлетворяет условию 4.3.1 и оценка задана выражением (7.3.16). Тогда для ,

По сравнению с выражением (7.2.13) в данном случае моменты второго порядка домножаются на величину . В большинстве случаев исследователь имеет возможность выбрать b достаточно большим. Таким образом, справедлива

Теорема 7.3.6. Пусть задается выражением (7.3.16), тогда при сохранении условий теоремы 7.2.5 оценка при имеет асимптотическое распределение если

Как и прежде, матрица спектральной плотности аппроксимируется распределением Уишарта. Единственная трудность в приведенной выше процедуре оценивания состоит в том, что она неудовлетворительна при Для этого случая оценка может быть получена экстраполированием по ближайшим частотам. См. также оценку в упр. 7.10.23.

В упр. 7.10.24 приводится асимптотическое распределение оценки

для неравномерно взвешенных периодограмм.