8.12. Дальнейшее обсуждение

Статистики, которые рассматриваются в этой главе, в общем случае комплексные. Поэтому никаких трудностей не возникает, если имеются программы для ЭВМ, рассчитанные на обращение с комплексными величинами. Однако зачастую это не так, поэтому стоит отметить, что можно вычислять статистики с помощью программ, обрабатывающих действительные величины. Например, возьмем оценку комплексного коэффициента регрессии

    (8.12.1)

Применив операцию, описанную в § 3.7, получим

    (8.12.2)

Взяв первые s строк в (8.12.2), получим набор уравнений, вовлекающих только действительные величины:

Основное усложнение, связанное с такой редукцией, состоит в удвоении размерности вектора X. Другой подход к уравнению (8.12.1) можно предложить на основе упр. 3.10.11.

Можно также выписать статистики — выборочные аналоги выражений (8.4.13) и (8.4.14) — и определить спектральную плотность ошибки, частную когерентность и множественную когерентность.

Далее упомянем интересные аналоги в частотной области следующих важных проблем, которые можно назвать так: ошибки в исходных переменных и системы одновременных уравнений, тип которых описывается ниже.

Предположим, что ряд задается формулой

    (8.12.4)

где -мерный ряд непосредственно не наблюдаем, — ряд ошибок, не зависящий от Будем, однако, считать, что наблюдаем ряд

    (8.12.5)

и — это ряд ошибок, не зависящий от . Проблема оценки и и в подобной ситуации — это проблема ошибки в исходных переменных. Имеется значительная литература, посвященная этому вопросу для рядов с нулевой сериальной корреляцией; см. например, Durbin (1954), Kendall, Stuart (1961). Если рассматриваемые ряды стационарные, то можно написать

    (8.12.7)

причем указанные величины почти некоррелированны при разных s. Благодаря этой слабой корреляции мы можем теперь

попытаться найти подход к проблеме ошибок в исходных данных, применяя различные классические процедуры. Решение нашей задачи (8.12.4)-(8.12.5) будет связано с нахождением отдельных ошибок в переменных для каждой из частот А, принадлежащих промежутку .

Пожалуй, самые красивые результаты получаются, когда наряду с рядами доступен анализу -мерный вспомогательный ряд Этот ряд коррелирован с но некоррелирован с рядами . В стационарном случае из выражений (8.12.5) и (8.12.4) получаем

    (8.12.8)

Статистику

можно предложить в качестве оценки для . Об этой процедуре см. Hannan (1963а) и Parzen (1967b). Akaike (1966) предложил процедуру, полезную, если ряд — гауссовский, а негауссовский.

Различные модели в эконометрике приводят к системам одновременных уравнений, имеющих вид

где есть -мерные векторные ряды, a есть -мерный ряд, не зависящий от см. Malinvaud (1964). Модель вида (8.12.10) называется системой структурных уравнений. Ода отличается чрезвычайной общностью, становясь, например, водном случае схемой авторегрессии, а в другом — линейной системой

    (8.12.11)

с коррелированными рядами . Эта корреляция может быть обязана наличию в системе обратной связи. В эконометрических задачах часто интересуются оценкой коэффициентов отдельного уравнения системы (8.2.10), и целый ряд таких процедур был предложен Malinvaud (1964) в случае отсутствия сериальной корреляции.

В стационарном случае можно выписать выражение

    (8.12.12)

взяв близким к А, с переменными, почти некоррелированными при разных s. Ясно, что для оценки интересующих нас коэффициентов можно применять к системе (8.12.12) комплексные аналоги различных эконометрических оценок. Процедуры эти

связаны с исследованием системы одновременных уравнений по отдельности в ряде узких частотных полос. Brillinger, Hatanaka (1969) записали систему (8.12.10) и предложили провести ее частотный анализ. Akaike (1969) и Priestley (1969) рассмотрели проблему получения оценок для систем с обратной связью.

Как отметил Durbin (1954), модель для ошибок в переменных (8.12.4) и (8.12.5) с вспомогательным рядом может изучаться в рамках одновременных уравнений. Мы просто запишем эту модель в такой форме:

    (8.12.13)

и будем рассматривать пару как из (8.2.10).