2.10. Примеры кумулянтного спектра

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Пред.

След.

Вернуться к книге

Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

2.10. Примеры кумулянтного спектра

В этом параграфе приводятся примеры кумулянтного спектра порядка k для стационарных временных рядов.

Пример 2.10.1 (белый шум). Предположим, что -белый шум с компонентами , и пусть существует

Тогда где дельта-функция Кронекера. Непосредственно видно, что

(2.10.1)

Пример 2.10.2 (линейный процесс). Допустим, что

(2.10.2)

где - -компонентный белый шум. Из теоремы 2.8.1 вытекает, что

(2.10.3)

Результаты этого и предыдущего примеров могут быть использованы для получения спектров процессов скользящего среднего и авторегрессии.

Пример 2.10.3 (стационарный гауссовский ряд). Характеристическая функция многомерной гауссовской величины с вектором математического ожидания и ковариационной матрицей 2 задается формулой

(2.10.4)

Отсюда следует, что для гауссовских рядов все кумулянтные функции порядка выше 2 равны нулю, поэтому все кумулянтные спектры порядка выше 2 также обращаются в нуль.

Мы видим, что кумулянтные спектры порядка выше 2 представляют в некотором смысле меру негауссовости ряда.

Пример 2.10.4 (косинусоида). Пусть векторный процесс с компонентами , где — постоянные, независимы, равномерно распределены в промежутке и выполнено условие Тогда — стационарный процесс. Заметим, что элементы любого истинного подмножества множества независимы в совокупности и, следовательно, совместные кумулянты набора таких величин обращаются в нуль. Таким образом,

(2.10.5)

Эта функция зависит от поскольку

Далее,

(2.10.6)

и потому

(2.10.7)

здесь определяется формулой (2.1.6), см. также упр. 2.13.33.

В случае для спектра мощности ряда получается выражение

(2.10.8)

Последняя функция имеет пики на частотах . В этом одна из причин называть переменную к частотой. Очевидно, (-число полных циклов изменения косинусоиды , проходимых ею при изменении аргумента t на единицу. Поэтому называется циклической частотой в единицу времени, обратная к ней величина носит название периода, а А, — угловая частота, выраженная в радианах в единицу времени.