2.10. Примеры кумулянтного спектра

В этом параграфе приводятся примеры кумулянтного спектра порядка k для стационарных временных рядов.

Пример 2.10.1 (белый шум). Предположим, что -белый шум с компонентами , и пусть существует

Тогда где дельта-функция Кронекера. Непосредственно видно, что

    (2.10.1)

Пример 2.10.2 (линейный процесс). Допустим, что

    (2.10.2)

где - -компонентный белый шум. Из теоремы 2.8.1 вытекает, что

    (2.10.3)

Результаты этого и предыдущего примеров могут быть использованы для получения спектров процессов скользящего среднего и авторегрессии.

Пример 2.10.3 (стационарный гауссовский ряд). Характеристическая функция многомерной гауссовской величины с вектором математического ожидания и ковариационной матрицей 2 задается формулой

    (2.10.4)

Отсюда следует, что для гауссовских рядов все кумулянтные функции порядка выше 2 равны нулю, поэтому все кумулянтные спектры порядка выше 2 также обращаются в нуль.

Мы видим, что кумулянтные спектры порядка выше 2 представляют в некотором смысле меру негауссовости ряда.

Пример 2.10.4 (косинусоида). Пусть векторный процесс с компонентами , где — постоянные, независимы, равномерно распределены в промежутке и выполнено условие Тогда — стационарный процесс. Заметим, что элементы любого истинного подмножества множества независимы в совокупности и, следовательно, совместные кумулянты набора таких величин обращаются в нуль. Таким образом,

    (2.10.5)

Эта функция зависит от поскольку

Далее,

    (2.10.6)

и потому

    (2.10.7)

здесь определяется формулой (2.1.6), см. также упр. 2.13.33.

В случае для спектра мощности ряда получается выражение

    (2.10.8)

Последняя функция имеет пики на частотах . В этом одна из причин называть переменную к частотой. Очевидно, (-число полных циклов изменения косинусоиды , проходимых ею при изменении аргумента t на единицу. Поэтому называется циклической частотой в единицу времени, обратная к ней величина носит название периода, а А, — угловая частота, выраженная в радианах в единицу времени.

Пример 2.10.5 (функциональное разложение Вольтерра). Возвращаясь к примеру 2.9.8, сформулируем следующую теорему.

Теорема 2.10.1. Пусть , определяется формулой (2.9.15), где и

    (2.10.9)

Тогда для кумулянтного спектра порядка ряда справедливо уравнение

    (2.10.10)

где внешняя сумма берется по всем неразложимым разбиениям табл. 2.3.4

В уравнении (2.10.10) для кумулянтного спектра использована симметричная запись. Теорема 2 в работе Ширяева (1960) дает сходный результат.