6.11. Дальнейшие исследования

Вернемся к исследованию природы различных полученных нами результатов для независимых рядов . Прежде всего рассмотрим смещение оценки . Как видно из выражений (6.4.8) и (6.5.14), математическое ожидание является матричным взвешенным средним с весами, зависящими от Выражения (6.4.8) и (6.5.14) значительно упростятся, если предположить, что функция близка константе по а и ее недиатональные члены близки к 0. Приближение к нулю недиагональных членов значительно упрощает вид А(а). Продолжая исследование остаточного члена (6.4.8), будем предполагать, что главную роль играет член со взвешенным средним в случае, когда мало или имеет острых пиков.

Далее мы рассмотрим асимптотические свойства второго порядка Как следует из выражения (6.6.4) и теоремы 6.4.2, для того чтобы асимптотически уменьшить дисперсию элементов , нам следует выбирать таким образом, чтобы диагональные элементы были достаточно большими. Пусть заданы диагональные элементы , матрицы Согласно упр. 6.14.18,

    (6.11.1)

равенство достигается в случае, когда недиагональные элементы равны нулю. Мы опять видим преимущества того случая, когда недиагональные элементы матрицы близки к нулю, а диагональные достаточно большие.

Из близости к нулю недиагональных элементов можно извлечь еще некоторые преимущества. Согласно (6.6.4), из этого факта следует почти некоррелированность и почти независимость статистик значительно упрощается также их интерпретация и асимптотические свойства.

Для получения приемлемой оценки следует искать такой процесс чтобы матрица была близка к константе по а, имела недиагональные члены, близкие к нулю, и достаточно большие диагональные члены. Позднее мы увидим, что такими свойствами обладает процесса , который является процессом белого шума с независимыми компонентами, каждая большой дисперсии.

В большинстве ситуаций процесс предстает перед нами как свершившийся факт, однако, согласно § 6.1,

свойства легко изменить посредством фильтрации. Можно построить

    (6.11.2)

для -фильтра и оценить затем передаточную функцию переводящую Пусть эта оценка будет Тогда в качестве оценки для можем рассмотреть

    (6.11.3)

Из (6.1.10) и (6.5.14) следует

из чего заключаем, что нам нужно искать такой фильтр чтобы было не очень большим по . Такую операцию называют предварительной фильтрацией. Ее применение весьма существенно даже в простых ситуациях. Рассмотрим общую модель, в которой связан с через запаздывающий аргумент

    (6.11.5)

В этом случае

    (6.11.6)

так что

    (6.11.7)

В случае когда v достаточно большое, знак быстро меняется с изменением s. Ввиду сглаживания выражение (6.11.7) будет гораздо ближе к нулю, чем

    (6.11.8)

Согласно предыдущему обсуждению, следует использовать предварительную фильтрацию с. передаточной функцией т. е. выполнять спектральные вычисления с рядом вместо . Таким образом, оценим

выражением процедуру предложили Darzell, Pearson W. J. (1960), Yamanouchi (1961) и Akaike, Yamanouchi (1962). На практике предполагается использование запаздывания v перед этими вычислениями. Одной из причин выбора запаздывания является стремление максимально увеличить кросс-ковариацию рядов

В § 7.7 процедура предварительной фильтрации будет обсуждена в случае векторного ряда Она основана на методе наименьших квадратов для выбора предварительной временной модели и последующего спектрального анализа ряда и остатков.

До сих пор мы говорили о путях улучшения оценки Другие оценки связаны с этой весьма органично. Поэтому можно ожидать улучшения статистики в результате улучшения этих добавочных статистик. В общих словах мы считаем, что лучшей оценкой связи между , будет соотношение в виде множественной регрессии по с ошибками в виде шума. Для сведения этой оценки к такому виду следует использовать все априорные сведения.

Приведем несколько комментариев по поводу вычисления статистик. Оценки основываются на непосредственном использовании дискретного преобразования Фурье рассматриваемых рядов. Это делается для упрощения их выборочных свойств. Естественно, при вычислении дискретного преобразования Фурье имеет смысл пользоваться алгоритмом быстрого преобразования Фурье. Другое важное упрощение результатов следует из того, что оценки § 6.4 могут быть получены непосредственно из стандартного множественного регрессионного анализа действительных переменных. Рассмотрим случай к . Согласно обсуждению из § 6.3, модель (6.1.1) приводит к приблизительному равенству

Для действительных величин это можно записать в следующем виде:

    (6.11.10)

Ввиду того что приблизительно некоррелированные переменные, соотношения (6.11.10) имеют форму множественного регрессионного анализа с матрицей регрессионных коэффициентов

    (6.11.11)

и дисперсией ошибок . Поэтому оценки интересующих нас параметров получаются из множественного регрессионного анализа, если за Y взять матрицу

    (6.11.12)

а за X — матрицу

    (6.11.13)

Оценки в случае получаются аналогичным образом.

Заметим, что модель (6.1.1) может использоваться даже в том случае, когда не являются векторными величинами. Например, если мы желаем исследовать возможность нелинейных соотношений между действительными рядами можно положить в (6.1.1)