6. АНАЛИЗ ИНВАРИАНТНЫХ ВО ВРЕМЕНИ ЛИНЕЙНЫХ СООТНОШЕНИЙ МЕЖДУ СТОХАСТИЧЕСКИМИ И НЕКОТОРЫМИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫМИ РЯДАМИ

6.1. Введение

Пусть - стохастические действительные временные ряды, а — фиксированный векторный временной ряд с компонентами. В этой главе будут рассматриваться соотношения вида

    (6.1.1)

где — некоторая константа, — линейный -фильтр. Будем предполагать, что ряд ошибок - стационарный ряд со средним и спектром мощности . Назовем этот спектр мощности спектром ошибок. Он указывает ту степень, в которой ряд определен линейной фильтрацией ряда . Относительно результирующего ряда и основного ряда сделаем допущение, согласно которому значения этих рядов известны при . Поскольку , то

    (6.1.2)

Таким образом, среднее значение ряда является результатом фильтрации ряда Заметим, что, вообще говоря, из (6.1.2) не следует стационарность ряда Y (t). Вместе с тем для выполняется

    (6.1.3)

поэтому имеет семиинварианты стационарного ряда, если только порядок их превышает единицу.

Передаточная функция фильтра а задается выражением

    (6.1.4)

рассмотрим влияние фильтрации рядов на поведение этой передаточной функции. Пусть линейный -фильтр, имеющий обратный фильтр линейный -фильтр. Полагая

    (6.1.5)

получим

    (6.1.6)

Если, кроме того,

    (6.1.7)

и

    (6.1.9)

то соотношение (6.1.1) примет вид

    (6.1.10)

где

    (6.1.11)

Таким образом, соотношение между фильтрованными рядами имеет тот же вид, что и соотношение (6.1.1). В терминах передаточных функций (6.1.11) можно переписать в виде

или

    (6.1.13)

Как видно, передаточная функция, связывающая , может быть определена с помощью передаточной функции, связывающей в том случае, когда все необходимые для этого обратные функции существуют. Заметим, кстати, что такое же соотношение имеет место даже, если из (6.1.7) содержит X в виде

    (6.1.14)

для некоторого Это замечание будет играть особенно важную роль в дальнейшем при оценивании предварительным сглаживанием ряда.

На протяжении всей главы мы будем рассматривать случай детерминированного ряда и стохастического действительного ряда Y (t). Brillinger (1969а) рассматривал модель

    (6.1.15)

, в которой ряд детерминированный, a — векторные -компонентные ряды. В гл. 8 будет рассматриваться модель (6.1.15), в которой ряд — также стохастический.