2.9. Примеры стационарных временных рядов

Определение стационарного ряда и несколько элементарных примеров были даны в § 2.4. Поскольку стационарные ряды являются главным объектом нашего исследования, желательно иметь как можно больше их примеров.

Пример 2.9.1 (белый шум). Пусть последовательность независимых одинаково распределенных -компонентных векторных величин. Такая последовательность, очевидно, образует стационарный временной ряд.

Пример 2.9.2 (линейный процесс). Пусть белый шум, рассмотренный в предыдущем примере. Положим

    (2.9.1)

где — суммируемый -фильтр. Согласно лемме 2.7.3, этот s-компонентный ряд является стационарным.

Если лишь конечное число членов а в выражении (2.9.1) отлично от нуля, то ряд называется процессом скользящего среднего. Говорят, что процесс имеет порядок , когда для

Пример 2.9.3 (косинусоида). Предположим, что — векторный ряд с компонентами

    (2.9.2)

где — постоянные, а - равномерно распределенные в интервале случайные величины, такие, что Тогда этот ряд стационарен, поскольку его конечномерные распределения инвариантны относительно временных сдвигов.

Пример (стационарный гауссовский ряд). Ряд называется гауссовским, если все его конечномерные распределения являются гауссовскими (нормальными). В случае когда для всех t, и, ряд стационарен и полностью определяется свойствами моментов первого и второго порядков.

Заметим, что если — стационарный -компонентный векторный гауссовский ряд, то

    (2.9.3)

для любого -фильтра образует -компонентный стационарный гауссовский ряд.

Подробное расслотрение стационарных гауссовских рядов содержится в книгах: Blanc-Lapierre, Fortet (1965), Loeve (1963), Cramer, Leadbetter (1967).

Пример 2.9.5 (стационарные марковские процессы). Ряд с компонентами называется -компонентным марковским процессом, если условные вероятности

    (2.9.4)

для любых равны следующим условным вероятностям:

    (2.9.5)

Функция называется функцией переходной вероятности. Она и начальное распределение полностью определяют вероятностную структуру процесса. Марковские процессы и, в частности, стационарные марковские процессы исследуются в книгах: Doob (1953), Дынкин (1963), Loeve (1963), Feller (1966).

Важный пример представляет гауссовский стационарный марковский процесс. Когда этот процесс принимает действительные значения, его автоковариационная функция очень просто описывается.

Лемма 2.9.1. Автоковариационная функция невырожденного гауссовского марковского стационарного процесса принимающего действительные значения, имеет вид для некоторого из интервала (-1, 1).

Другой класс примеров действительных стационарных марковских процессов дает Wong (1963). Бернштейн (1932) рассматривал марковские процессы, возникающие при решении стохастических разностных и дифференциальных уравнений.

Примером стационарного марковского процесса компонентами служит решение уравнения

    (2.9.6)

где - компонентный белый шум и а является -матри-цей, все собственные значения которой по модулю меньше единицы.

Пример 2.9.6 (схема авторегрессии). Уравнение (2.9.6) наводит на мысль рассмотреть процессы X (t), удовлетворяющие более общим условиям вида

    (2.9.7)

где - -компонентный вектор белого шума и — матрицы порядка . Если корни уравнения лежат вне единичного круга, а

    (2.9.8)

то можно показать (см. § 3.8), что (2.9.7) имеет стационарное решение. Такое решение называется -компонентным авторегрессионным процессом порядка .

Пример 2.9.7 (смешанная схема скользящего среднего и авторегрессии). Иногда мы будем комбинировать схемы скользящего среднего и авторегрессии. Рассмотрим -компонентный векторный процесс удовлетворяющий уравнению

    (2.9.9)

где — -компонентный белый шум; -соответственно -матрицы. Если существует стационарный процесс удовлетворяющий уравнению (2.8.9), то он называется смешанным процессом скользящего среднего и авторегрессии порядка .

Если корни уравнения

    (2.9.10)

лежат вне единичного круга, то удовлетворяющий (2.9.9), представляет собой линейный процесс

    (2.9.11)

где см. § 3.8.

Пример 2.9.8 (функции от стационарного процесса). Располагая стационарным рядом (таким, например, как белый шум), мы можем рассмотреть инвариантные во времени функции от этого процесса и в результате получить другой стационарный ряд. Например, допустим, что — стационарный ряд где некоторый -фильтр. Мы уже видели (лемма 2.7.1), что при условиях регулярности также будет стационарным рядом. С другой стороны, можно рассматривать Y (t), полученные с помощью нелинейных функций, скажем,

    (2.9.12)

где — некоторая измеримая функция [Rosenblatt (1964). В действительности всем стационарным функциям можно придать форму выражения (2.9.12), если применять также функции f от бесконечного числа аргументов. Любой стационарный ряд может быть записан в виде

    (2.9.13)

где U — сохраняющее меру преобразование и — точка вероятностного пространства [Doob (1953)]. Часто можно считать точкой единичного интервала [Choksi (1966)].

К сожалению, работать с соотношениями типа (2.9.12) и (2.9.13) в общем случае не легко. В надежде получить более обозримые результаты некоторые исследователи [Wiener (1958), Balakrishnan (1964), Ширяев (1960), McShane (1963), Meecham, Siegel (1964)] перешли к рассмотрению рядов, порожденных нелинейными преобразованиями вида

    (2.9.14)

Nisio (1960, 1961) исследовал указанного выше вида в случае, когда — белый гауссовский шум. Meecham (1969) рассматривал случай, когда является почти гауссовским процессом.

Будем ссылаться на выражение вида, (2.9.14) как на функциональное разложение Вольтерра [Volterra (1959), Brillinger (1970а)].

В связи с рассмотрением соотношения (2.9.14) приведем следующую теорему.

Теорема 2.9.1. Если ряд удовлетворяет условию 2.6.1 и

    (2.9.15)

где - абсолютно суммируемы и то ряд также удовлетворяет условию 2.6.1.

Мы видим, например, что ряд удовлетворяет условию 2.6.1, когда этому условию удовлетворяет Теорема обобщается на -компонентные ряды и в таком виде является обобщением леммы 2.7.3.

Пример 2.9.9 (решения стохастических разнбстных и дифференциальных уравнений). Ограничимся ссылками на литературу, посвященную стационарным процессам, которые удовлетворяют стохастическим разностным и дифференциальным уравнениям, см., например, Кашрё de Feriet (1965), Nisio (1964), Mortensen (1969).

В некоторых случаях [Ito, Nisio (1964)] решение стохастических уравнений может быть выражено в форме (2.9.14).

Пример 2.9.10 (решение функциональных соотношений Вольтерра). В ряде задач нам может быть известен ряд и требуется определить как ряд, удовлетворяющий соотношению (2.9.14). При решении мы столкнемся с явлением, обратным к умножениючастот, и с появлением гармоник низших порядков.