5.9. Другие оценки спектра мощности

Рассматриваемые до сих пор оценки спектров являлись взвешенными средними значениями периодограмм частот Использование такой оценки оправдывается тем, что при больших Т эти частные значения периодограммы могут быть вычислены с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (§ 3.5), а их совместное распределение при больших выборках довольно элементарно (теоремы 5.2.6 и 4.4.1). В этом параграфе мы рассмотрим некоторые другие оценки. Рассмотренная в § 5.6 оценка спектра имела следующий вид:

    (5.9.1)

Если дискретное среднее в (5.9.1) заменить непрерывным, то оценка будет выглядеть следующим образом:

    (5.9.2)

В этом случае

    (5.9.3)

где

    (5.9.4)

Произведя такую замену в формуле (5.9.2), мы придем к выражению

    (5.9.5)

где

    (5.9.6)

Оценку (5.9.5) исследовали в общей форме Grenander (1951а), Grenander, Rosenblatt (1957) и Parzen (1957); некоторые частные случаи этой оценки рассматривали Bartlett (1948b), Hamming, Tukey (1949), Bartlett (1950). Оценка (5.9.5) широко использовалась до появления алгоритма быстрого преобразования Фурье,

В действительности оценки (5.9.1) и (5.9.2) имеют в основном одинаковый характер и почти совпадают. Например, в упр. 5.13.15 показано, что оценка (5.9.5) может быть представлена как среднее дискретных значений периодограммы для любых целых в следующей форме:

    (5.9.7)

см. также Parzen (1957). Выражение (5.9.7) использует в два раза больше значений периодограмм, чем выражение (5.9.1). В случае когда 5 очень велико, оно может быть вычислено с помощью быстрого преобразования Фурье ряда

    (5.9.8)

или получено вычислением с помощью быстрого преобразования Фурье, согласно упр. 3.10.7, величин , с последующей оценкой выражения (5.9.5) также с помощью быстрого преобразования Фурье. Обратно, оценка (5.9.1) может быть представлена, как показывает упр. 5.13.15, в форме непрерывного среднего значений периодограммы

где

Равномерную оценку разности двух статистик дает

Теорема 5.9.1. Пусть удовлетворяет условию 5.6.1 и имеет ограниченную производную. Тогда

     (5.9.11)

для некоторого конечного L и

Очевидно, что в том случае, когда стремится к 0 не слишком быстро, асимптотическое поведение этих двух оценок практически совпадает.

При обсуждении интерпретации спектра мощности, приведенном в § 5.1, была предложена некоторая спектральная оценка. Так, пусть означает передаточную функцию узкополосного фильтра, такого, что

    (5.9.12)

мало и

    (5.9.13)

Свойства таких фильтров обсуждались в § 2.7, 3.3 и 3.6. Пусть означает временной ряд на выходе такого фильтра; тогда

    (5.9.14)

Это приводит к рассмотрению в случае оценки

    (5.9.15)

В действительности эта оценка была первой спектральной оценкой, использовавшейся на практике; см. Pupin (1894), Wegel Moore. (1924) Blanc-Lapierre, Fortet (1953). Такая оценка является одной из общеупотребительных во временных процессах. Обсудим свойства этой оценки, предположив, что

Если обозначает дискретное преобразование Фурье значений , выхода фильтра и то

    (5.9.17)

для и асимптотически равно 0 в противном случае. Из равенства Парсеваля следует, что

    (5.9.18)

и поэтому асимптотически равно

    (5.9.19)

Таким образом, оценка (5.9.15) имеет ту же форму, что и оценка .

Из теоремы 5.3.1 следует, что ординаты периодограмм одинаковых частот вычисленные 1 по различным временным интервалам, асимптотически независимые - переменные. Этот результат дает возможность построить оценку путем осреднения по различным временным интервалам. В самом деле, справедлива

Теорема 5.9.2. Пусть - действительный временной ряд, удовлетворяющий условию 2.6.1. Пусть

    (5.9.20)

для — Пусть также

    (5.9.21)

где . Тогда имеет асимптотическое распределение если и асимптотическое распределение если

Оценку (5.9.21) предложил Bartlett ее исследовали также Welch (1967), Cooley, Lewis, Welch (1970). По сравнению с другими эта оценка имеет преимущества ускоренных вычислений, особенно, когда V достаточно велико. Кроме того, она позволяет изучать ряд на стационарность. Welch (1967) предложил использовать периодограммы, вычисленные по пересекающимся временным интервалам. Спектральные оценки, основанные на преобразовании Фурье, рассматривали Akcasu (1961) и Welch (1961). На основании приведенной теоремы можно построить доверительные границы для , если считать L независимыми оценками

Как отмечалось в предыдущем параграфе, для оценки спектра мощности может быть использована также авторегрессионная

схема. Оценку спектра мощности ряда остатков для последовательности значений рассматривал Parzen (1964) в том случае, когда эта оценка близка к постоянной; в качестве оценки мы можем принять

    (5.9.22)

где есть передаточная функция фильтра, переводящего основной ряд в ряд остатков. Естественно, что эта процедура тесно связана с предварительной фильтрацией. Некоторые статистические свойства этой процедуры рассматривали Kromer (1969), Akaike (1969а); рассматриваются они также в § 8.10.

В процессе работы над данной главой мы пришли к важному выводу о существенном влиянии параметров эффективной ширины или ВТ на статистические свойства оценки. В самом деле, выбор формы весовой функции используемой оценки становится несущественным, если мы приводим к белому шуму исходный ряд. Существенной будет только ее эффективная ширина. Параметры m или мы надеялись определить из ожидаемой статистической устойчивости. Если же у нас не было четкого представления об этой устойчивости, мы использовали последовательность предлагаемых параметров. Leppink (1970) для выбора необходимой оценки предлагал оценивать на основании исходных данных, см. также Picklands (1970). Daniels (1962) и Akaike (1968b) предлагали процедуру для модификации оценки.

В случае когда является гауссовским рядом с нулевым средним, оценку, основанную на величинах

    (5.9.23)

(где , если если предложил Гольдштейн; см. Rodemich (1966); обсуждение этой оценки можно найти в работах: Hinich (1967), McNeil (1967) и Brillinger (1968). Rodemich (1968) рассматривал оценку для построенную по сгруппированным значениям ряда .

Jones (1962b) и Parzen (1963а) предложили оценки для случая, когда имеются систематические пропуски значений Brillinger (1972) рассматривал оценку, когда наблюдается в моменты являющиеся значениями точечного процесса. Akaike (1960) изучал процесс , наблюдаемый для значений t, близких к точкам такие наблюдения мы будем называть возмущенными выборками.

Писаренко (1972) был предложен некоторый класс нелинейных оценок. Предположим, что ряд наблюдений разделен на L сегментов. Пусть , означает

оценку ковариационной функции, построенной на сегменте I. Пусть означают собственные значения и векторы матрицы . В таком случае предлагаемая оценка имеет следующий вид:

    (5.9.24)

где строго монотонная функция и — обратная к ней. Эта оценка основана на определении матричной функции 3.10.27. В случае оценка (5.9.24) представляется в виде

    (5.9.25)

что совпадает с оценкой (5.9.21), если . В случае оценка представляется в виде

    (5.9.26)

где — матрица, обратная матрице, собственные значения и векторы которой вычислены. Оценку (5.9.26) с высокой разрешающей способностью рассматривал Capon (1969). Писаренко (1972) показал, что для нормального ряда с когда оценка (5.9.24) будет асимптотически нормальной с дисперсией

    (5.9.27)

Capon, Goodman (1970) приближали распределение (5.9.26) с помощью если если

Иногда нас может интересовать оценка спектра мощности с помощью параметрической модели. Полезные общие замечания в этом направлении содержатся в работах Whittle (1951, 1952а, 1961). Некоторые частные модели рассматривали Jenkins (1970).