1.2. Основания для применения гармонического анализа

Главным методом, который будет использоваться при анализе временных рядов, является гармонический анализ. Объясняется это тем, что в дальнейшем мы будем рассматривать только ряды, описывающие результаты экспериментов, не привязанных к конкретному началу отсчета времени. Другими словами, мы намерены ограничиться экспериментами, инвариантными по отношению к временным сдвигам. Отсюда следует, например, что доля значений попавших в некоторый интервал должна быть примерно такой же, как доля значений попавших в интервал для всех

Можно считать, что типичные физические эксперименты обладают свойством временной инвариантности. Так, для многих практических целей неважно, в какой именно день начата серия измерений силы тяжести. Беглый анализ рядов, упоминавшихся в предыдущем параграфе, показывает: температурный ряд на рис. 1.1.1 вполне приемлемо считать обладающим таким свойством инвариантности во времени; отрезки сейсмических наблюдений тоже кажутся на первый взгляд стационарными; ряды, описывающие объем экспорта, заведомо не похожи на стационарные, и с меньшей уверенностью это можно сказать про ряд, изображающий число солнечных пятен. Поведение рядов, описывающих объем экспорта, является типичным для большинства рядов, связанных с социально-экономическими процессами. Поскольку люди извлекают уроки из прошлого и соответственно изменяют свое поведение, ряды, относящиеся к человеческой деятельности, вообще говоря, не являются инвариантными во времени. Позднее мы обсудим методы, позволяющие выделить стационарную компоненту из нестационарных рядов, однако техника

этой книги главным образом нацелена на анализ стационарных процессов.

Потребовав, чтобы при сдвигах аргумента поведение интересующих нас функций было в некотором смысле элементарным, можно получить определенные аналитические следствия. Пусть — действительная Или комплексная функция, определенная при Если потребовать, чтобы

    (1.2.1)

то, очевидно, будет постоянной величиной. Поэтому для отбора функций, имеющих простое поведение при временных сдвигах, придется накладывать менее жесткие ограничения. Потребуем вместо (1.2.1) выполнения условия

Подставив получаем после нескольких шагов при

    (1.2.3)

или в случае

    (1.2.4)

В обоих случаях, положив , где а — действительное или комплексное число, мы видим, что общее решение уравнения (1.2.2) можно записать в виде

    (1.2.5)

и что . Ограниченные решения уравнения (1.2.2), как видно, получаются при где X действительно, . Таким образом, поиски функций, просто изменяющихся при сдвигах аргумента, приводят нас к гармоникам с действительным параметром X. Этот параметр X называется частотой гармоники. Если же оказывается, что

то

где . Другими словами, если интересующая нас функция является суммой гармоник, то ее поведение при сдвигах аргумента также легко описывается. Поэтому если в результате инвариантного во времени эксперимента получаются детерминированные функции времени, то естественно рассматривать функции, представимые в виде (1.2.6). Изучение таких функций является предметом гармонического анализа или фурье-анализа [Bochner (1959), Zygmund (1959), Hewitt, Ross (1963), Wiener (1933), Edwards (1967)].

В § 2.7 мы увидим, что фильтры — важный класс операций над временными рядами — также проще всего описываются и исследуются средствами гармонического анализа.

Требование временной инвариантности применительно к экспериментам, результаты которых описываются случайными (стохастическими) функциями , приводит к рассмотрению специального класса экспериментов. Для них семейства случайных величин , имеют одинаковые распределения при всех Результаты таких экспериментов называются стационарными стохастическими процессами [Doob (1953), Wold (1938), Хинчин (1934)].