4.3. Стохастические свойства конечного преобразования Фурье

Рассмотрим векторный -компонентный стационарный ряд этом параграфе будут выведены асимптотические выражения для кумулянтов конечного преобразования Фурье отрезка наблюдений указанного ряда. В § 3.3 мы видели, что некоторые преимущества по сравнению с обычным конечным преобразованием Фурье можно получить, вводя в определение преобразования множители сходимости. Будем использовать множители сходимости и здесь, тогда результаты для обычного конечного преобразования Фурье получатся как частный случай. Нам понадобится

Условие 4.3.1. Функция ограничена, имеет ограниченную вариацию и обращается в нуль при

Предположим, что удовлетворяют этому условию для Конечное преобразование Фурье, которое мы рассматриваем, определяется формулой

В данном контексте функция будет называться окном просмотра данных или сглаживающей функцией. Преобразование вовлекает только члены ряда . Если при тогда в преобразование войдут лишь значения при Таким образом, асимптотические результаты мы сможем применять как к двусторонним, так и к односторонним статистикам. Если не известен некоторый отрезок наблюдений внутри периода наблюдений ряда, то можно оперировать только имеющимися в распоряжении данными, выбрав функцию обращающуюся в нуль на этом отсутствующем отрезке. Если компоненты ряда наблюдались на разных временных промежутках, то можно взять не обращающейся в нуль на этих промежутках.

Положим

Если

    (4.3.3)

и если допустимо применение формулы суммирования Пуассона [Edwards (1967, стр. 173)], то

    (4.3.4)

Рассмотрение множителей сходимости в § 3.3 наводит на мысль, что значения будут велики только для Я, близких к . Отсюда последует, что функция (4.3.2) будет принимать большие по величине значения только для А., близких к кратным . Напомним, что

    (4.3.5)

и что при

    (4.3.6)

определялась функция .

    (4.3.7)

Используя эти функции, сформулируем следующую теорему.

Теорема 4.3.1. Пусть — стационарный векторный -компонентный временной ряд, для которого выполнено (4.3.6). Предположим, что удовлетворяет условию 4.3.1 для . Тогда

    (4.3.8)

причем оценка порядка дстаточного члена равномерна по Если то

    (4.3.9)

Если же , то кумулянт будет иметь меньший порядок роста по Т. Упражнение 4.3.9 позволяет предположить, что при оценке кумулянтного спектра (4.3.7) можно

исходить из величин , у которых

В некоторых случаях остаточный член в выражении (4.3.8) имеет порядок меньший, чем . Допустим, что вместо (4.3.6) выполнено условие

    (4.3.10)

Тогда справедлива

Теорема 4.3.2. Пусть - векторный стационарный -компонентный ряд, удовлетворяющий условию (4.3.10). Предположим также, что для выполнено условие 4.3.1 при . Тогда

    (4.3.11)

причем оценка порядка остаточного члена равномерна по

С качественной точки зрения результаты теорем 4.3.1 и 4.3.2 одинаковы. Однако последняя показывает, что ослабление меры зависимости внутри рассматриваемого ряда, о чем свидетельствует замена условия (4.3.6) на (4.3.10), приводит к уменьшению асимптотического остаточного члена. Согласно упр. 4.8.14, остаточный член можно сделать еще меньше путем выбора таких множителей для которых преобразование Фурье быстро обращается в нуль с ростом

Множитель сходимости

представляет особый интерес. В этом случае преобразование Фурье имеет вид

    (4.3.13)

Из выражения (4.3.2) получаем

    (4.3.14)

Функция обладает следующими свойствами: при для целых .

Справедлива также оценка показывающая, что при , не являющихся близкими к кратным значения не слишком велики. В нашем случае выражение (4.3.11) примет вид

Этот совместный кумулянт принимает большие по величине значения, когда сумма близка к некоторому кратному Заметим, что первый член в правой части выражения (4.3.15) обращается в нуль для где — целые числа, такие, что .

Выражение (4.3.15) выведёно в Brillinger, Rosenblatt (1967а); укажем также другие работы, посвященные этой теме: Davis (1953), Root, Pitcher (1955), Kawata. (1960, 1966). Согласно упр. 4.8.21, в некоторых случаях для введения коэффициентов сглаживания эффективнее проводить вычисления не с функциями времени, а с функциями частоты.