2.6. Кумулянтные спектры порядка k
Допустим, что ряд 
стационарен и зависимость его членов достаточно мала, а именно
(2.6.1)
В этом случае кумулянтный спектр 
порядка, обозначаемый 
определяется выражением
(2.6.2)
где 
. Распространим определение (2.6.2) на случай 
полагая 
. Иногда, чтобы сохранить симметрию, мы будем добавлять символический аргумент 
у функции, определяемой формулой (2.6.2), записывая ее как 
.
При этом 
связан с другими 
соотношением 
Заметим, что 
является, вообще говоря, комплексной функцией. Она ограничена и равномерно непрерывна на многообразии 
. Имеет место следующая формула обращения:
(2.6.3)
или в симметричном виде
(2.6.4)
Здесь
(2.6.5)
- «гребень» Дирака (2.1.6).
Мы часто будем предполагать, что для рассматриваемого ряда выполнено
Условие 
строго стационарный векторный временной ряд с 
компонентами 
, все моменты которых существуют, и, кроме того, при 
выполняется (2.6.1).
Отметим, что для рядов, удовлетворяющих условию 2.6.1, существуют кумулянтные спектры всех порядков. Для гауссовских процессов это условие сводится к требованию 
.
Кумулянтные (семиинвариантные) спектры определяются и рассматриваются в работах: Щиряев (1960), Леонов (1964), Brillinger (1965), Brillinger, Rosenblatt (1967а, b). Идея фурье анализа старших моментов временных рядов содержится в книге Blanc-Lapierre, Fortet (1953).
Спектр третьего порядка для одного ряда получил название 
биспектра [Tukey (1959), Hasselman, Munk, MacDonald (1963)]. Спектр четвертого порядка был назван триспектром.
В некоторых случаях окажется - полезным
Условие 
Для векторного стационарного процесса 
с компонентами 
, существует 
, такое, что
(2.6.6)
при 
и любом наборе 
где 
Из этого условия вытекает, что для 
зависимость достаточно удаленных по времени значений процесса еще слабее, чем при выполнении условия 2.6.1. Степень зависимости определяется величиной 
Соотношение (2.6.6) обеспечивает существование всех производных порядка, не превосходящего 
функций 
и эти производные ограничены и равностепенно непрерывны.
Если вместо (2.6.1) или (2.6.6) потребовать лишь, чтобы 
, фигурирующие в (2.6.4), представляют собой распределения Шварца, порядок которых не превосходит 2. О распределениях или обобщенных функциях см. монографии Schwarts (1957, 1959). В случае 
теорема 2.5.2 показывает, что эти обобщенные функции являются мерами.
В последних главах нам понадобится следующее условие, которое сильнее обычно используемого условия 2.6.1.
Условие 2.6.3. Векторный ряд 
компонентами удовлетворяет условию 2.6.1, и, кроме того, величины
(2.6.7)
таковы, что для z из некоторой окрестности нуля
(2.6.8)
Это условие позволит в дальнейшем получить оценки с вероятностью единица для различных интересующих нас статистик. Если 
— гауссовский ряд, то требования 2.6.3 сводятся к суммируемости его ковариационной функции. В упр. 2.13.36 указана конкретная форма условия 2.6.3 и для других полезных примеров.
