6.14. Упражнения

6.14.1. Пусть выполнены условия теоремы 6.2.1 с замененным на Покажите, что и

6.14.2. Пусть выполнены условия теоремы 6.2.1 с замененным на Докажите, что выражение

минимально при

Покажите, что b — несмещенная оценка с ковариационной матрицей Покажите также, что оценка наименьших квадратов остается несмещенной с ковариационной матрицей

6.14.3. Сохраняя обозначения теоремы 6.2.3, покажите, что несмещенная линейная оценка минимизирующая дисперсию, где а — вектор размерности k, имеет вид

6.14.4. Пусть -комплексная случайная величина; покажите, что

6.14.5. Сохраняя обозначения теоремы 6.2.3, положим Докажите, что При соблюдении условий теоремы 6.2.4 покажите, что распределение величины есть нецентральное -распределение со степенями свободы и параметром

6.14.6. При соблюдении условий теоремы 6.4.2 или теоремы 6.7.1 докажите, что величина асимптотически равномерна на если

6.14.7. Докажите, что следующее определение асимптотической нормальности является состоятельным. Последовательность векторных -мерных случайных величин асимптотически нормальна со средним и ковариационной матрицей если стремится по распределению к где есть последовательность -мерных векторов, а последовательность несингулярных -матриц.

6.14.8. Сохраняя обозначения упр. 6.14.2, покажите, что ( означает, что неотрицательно определена.)

6.14.9. Докажите, что из (6.5.6) можно записать в виде

где задано выражением

а выражением

6.14.10. Пусть имеет конечное преобразование Фурье Докажите, что , т. е. оценка спектра ошибок равна спектру мощности ряда остатков.

6.14.11. Пусть есть -матричная случайная величина с для . Докажите, что наилучшая несмещенная линейная оценка 0 задается выражением

Указание: использовать упр. 6.14.2 и 6.14.8 и упр. 1.7.6 в случае

Показать, что

6.14.12. Пусть выполняются условия теоремы 6.2.4. Покажите, что в случае ортогональности двух столбцов матрицы X соответствующие элементы а статистически независимы.

6.14.13. Покажите, что оценка g (К) спектра ошибок, задаваемая (6.4.5), неотрицательна.

6.14.14. При определенном по формуле (6.4. 11), покажите, что выборочный спектр мощности можно интерпретировать как пропорцию, определяемую значениями

6.14.15. Покажите, что статистики не зависят от значений выборочных средних

6.14.16. Докажите, что используя определения § 6.4.

6.14.17. Пусть а — вектор размерности k. При условиях теоремы 6.2.4 покажите, что

дает -процентную многомерную доверительную область для всех линейных комбинаций элементов вектора а. (Эта область является комплексным аналогом области Шеффе, см. Miller R. G. (1966, стр. 49).)

6.14.18. Сохраним обозначения теоремы 6.2.3 и обозначим строку в X через где при некоторых заданных . Докажите, что

и минимум достигается, когда , т. е. строки в X ортогональны. (Этот результат для действительных величин получен в работе Rao (1965, стр. 196).)

6.14.19. Пусть переменная w имеет распределение . Докажите, что функция плотности для R представляется в виде

где есть бесселева функция порядка 0 первого рода. Докажите, что

для где - вырожденная гипергеометрическая функция. Оцените если Докажите, что функцию плотности можно представить в виде

см. Middleton (1960).

6.14.20. Пусть

где есть -матрица, столбцы которой суть независимые переменные с распределением , а есть -матрица неизвестных комплексных параметров, есть -матрица известных комплексных элементов и у есть -матрица известных комплексных переменных. Пусть

и

Докажите, что а имеет распределение и 2 не зависит от а и Операции определены в § 8.2.

6.14.21. Пусть заданы матрицы х и у размеров соответственно с комплексными элементами. Покажите, для заданных с -матрицы С, -матрицы - матрицы Г, что при ограничении минимизирующем

-матрица а задается выражением

где и предполагается существование обратной матрицы.

6.14.22. Докажите при условиях теоремы 6.6.1, что

6.14.23. При соблюдении условий теоремы 6.4.2 докажите, что

стремится к независимо для . Получите соответствующий результат для случая

6.14.24. Пусть в выражении Докажите, что есть

где — выборочные средние величин F и X. Найдите связь этого результата с коэффициентом множественной регрессии по

6.14.25. При соблюдении условий теоремы 6.4.2 и докажите, что для ,

стремится по распределению к

где F имеет -распределение со степенями свободы .

6.14.26. Пусть суть -мерные случайные ряды, есть вектор размерности s и есть -матричная функция. Пусть, далее,

Получите оценки передаточной функции матрицы спектральной плотности ; Brillinger (1969а).

6.14.27. Пусть стремится к равномерно по X при для конечных К Докажите, что условие 6.5.2 выполнено.

6.14.28. Докажите, что величина определенная в (6.5.5), неотрицательно определена, если . Докажите также, что , определенная в (6.5.9), неотрицательна при этом условии.

6.14.29. Пусть , где - суммируемый -фильтр с передаточной функцией В(X). Пусть несингулярна, — Докажите, что удовлетворяет условию (6.5.2, если удовлетворяет этому же условию.

6.14.30. Пусть связаны соотношением (6.1.1). Пусть заменено на остальные компоненты оставлены без изменений. Какую пользу можно извлечь из этого для интерпретации

6.14.31. При соблюдении условий теоремы 6.6.1 покажите, что

6.14.32. Рассмотрим полную модель (6.12.3) вместо упрощенной (6.12.2). Пусть , являются для этого случая аналогами оценок Покажите, что ковариации , равны приблизительно величине умноженной соответственно на