5. ОЦЕНКА СПЕКТРА МОЩНОСТИ

5.1. Спектры мощности и их интерпретация

Пусть действительный временной ряд со средним значением

    (5.1.1)

и ковариационной функцией

    (5.1.2)

Предположим, что для ковариационной функции выполняется неравенство

    (5.1.3)

тогда спектром мощности ряда назовем преобразование Фурье

    (5.1.4)

Как было отмечено в § 2.5, спектр мощности есть неотрицательная четная функция от периодом Из четности и периодичности следует, что в качестве основной области определения можно, если это нужно, взять отрезок .

Если выполнено условие (5.1.3), то есть ограниченная равномерно непрерывна функция. Обращая соотношение (5.1.4), получаем для ковариационной функции выражение

    (5.1.5)

В частности, полагая получаем

    (5.1.6)

Как было показано в § 2.8 и 4.6, если ряд фильтруется линейно и инвариантно по времени, то спектр мощности преобразуется элементарным образом. Пусть, в частности, есть результат фильтрации ряда с передаточной функцией Тогда, согласно примеру 2.8.1, для спектра мощности ряда выполнено соотношение

    (5.1.7)

Из соотношений (5.1.6) и (5.1.7) следует, что

    (5.1.8)

Из (5.1.8) вытекает одна из возможных интерпретаций спектра мощности. Пусть для и достаточно малого А

а вне интервала эта функция продолжена периодическим образом. Такая передаточная функция соответствует фильтру, пропорциональному полосно-пропускающему (см. § 2.7). Таким образом, ряд пропорционален — компоненте частоты А, ряда (см. § 4.6). Из выражений (5.1.8) и (5.1.9) следует, что

    (5.1.10)

Это означает, что можно интерпретировать как величину, пропорциональную дисперсии компоненты частоты X ряда . В частности, заметим, что

    (5.1.11)

Это среднее равно нулю, если X отстоит от дальше, чем на А; точно так же

    (5.1.12)

Пусть теперь — напряжение, приложенное к участку изображенной на рис. 5.1.1 электрической цепи, содержащей сопротивление 1 Ом; в таком случае мгновенная рассеиваемая энергия равна Равенство (5.1.12) показывает, что можно интерпретировать как ожидаемое количество мощности, рассеиваемое в электрической цепи компонентой ряда частоты . Это вскрывает причину того, почему часто называют спектром «мощности».

Рис. 5.1.1. Простейшая электрическая цепь, к которой подводится зависящее от времени t напряжение .

Рис. 5.1.2. Приблизительная фдрма передаточной функции системы, состоящей из трубы, обдуваемой с одного конца потоком воздуха.

Для иллюстрации спектра мощности Roberts, Bishop (1965) рассматривали колебательную систему в виде цилиндрической медной трубы, обдуваемой потоком воздуха на своем открытом конце; эту систему можно рассматривать как процесс -Выходным сигналом является давление у закрытого конца трубы, а передаточная функция напоминает представленную на рис. 5.1.2. Пики передаточной функции находятся в точках

    (5.1.13)

где - длина трубы, с — скорость звука и Таким образом, давление на дне трубы будет пропорционально

    (5.1.14)

где задаются формулой (5.1.13). Для получения выходного сигнала у закрытого конца трубы устанавливается микрофон.

В заключение этого параграфа продемонстрируем некоторые примеры ковариационных функций и соответствующих им спектров мощности (рис. 5.1.3). Например, если функция сконцентрирована в нуле, то близка к константе. Если медленно убывает, когда и возрастает, то концентрируется

Рис. 5.1.3. Некоторые ковариационные функции и соответствующие им спектры мощности

около осциллирует около нуля, когда и возрастает, то несет существенную массу вне точек

Теперь мы переходим к рассмотрению оценок и их различных статистических свойств. При желании читатель может обратиться дополнительно к некоторым из следующих работ, касающихся оценок спектров мощности: Тиkey (1959а, b), Jenkins (1961), Parzen (1961), Priestley (1962а), Bingham и др. (1967), Cooley и др. (1970).