8.16. Упражнения

8.16.1. При условиях теоремы 8.2.2 и при докажите, что Ф (X) является функцией с конечными вторыми моментами, имеющей максимальную корреляцию с Y; см. Rao С. R. (1965, стр. 221) и Brillinger (1966а).

8.16.2. Докажите, что при выполнении условий теоремы 8.2.2 условное распределение Y при заданном X — многомерное нормальное распределение со средним (8.2.14) и ковариационной матрицей (8.2.16).

8.16.3. Пусть обозначает комплексный коэффициент регрессии на ряд обозначает комплексный коэффициент регрессии на при Покажите что

Следовательно, только в том случае, когда когерентность между равна 1.

8.16.4. Если - комплексный коэффициент регрессии на ряд постоянен при всех к, то покажите, что он равен обычному коэффициенту регрессии на

8.16.5. Пусть — белый шум, т. е. стационарный второго порядка процесс с постоянным спектром мощности, а Определите

8.16.6. При условиях теоремы 8.3.1 и при докажите, что тогда и только тогда, когда получается из применением линейного фильтра.

8.16.7. Пусть выполнены условия теоремы 8.3.1 и . Определите когерентность между и его наилучшим линейным прогнозом, основанным на Найдите также когерентность между рядом ошибок

8.16.8. При предположениях предыдущего упражнения докажите, что окажутся преобразованиями Фурье абсолютно суммируемых функций, если

8.16.9. Если , то докажите, что . Найдите в случае , где — целое.

8.16.10. Докажите, что

8.16.11. Докажите, что и поэтому при не является приемлемой оценкой для

8.16.12. Докажите, что

так что как правило, не будет хорошей оценкой для при

8.16.13. Выясните, почему могут иметь когерентность 1 и тем не менее при этом не обязательно

8.16.14. Допустим, что мы оценили матрицу спектральной плотности вторым выражением в (8.5.4) при Покажите, что

и если

Рассмотрите, какое воздействие на эти выражения окажет предварительное запаздывание на и единиц времени по сравнению с

8.16.15. Если выполнены предположения § 8.6 и то докажите, что

8.16.16. При условиях теоремы 8.7.1 и докажите, что

в то время как

8.16.17. Пусть к предположениям упр. 8.16.16. добавлено условие Покажите, что

8.16.18. Пусть выполнены условия теоремы 8.8.1 и, кроме того, Покажите, что асимптотически равномерно распределена на если

8.16.19. Получите выборочные аналоги ряда ошибок и выражения (8.3.8).

8.16.20. При условиях теоремы 8.7.1 покажите, что при

8.16.21. Проверьте, что в отличие от безусловного значения условная дисперсия квадрата выборочного коэффициента множественной корреляции при заданных значениях X приближенно равна

если выполнены условия теоремы 8.2.3.

8.16.22. Для случайной величины с плотностью распределения (8.2.56) проверьте, что и

при см. Abramowitz, Stegun (1964, стр. 944). Если , отсюда вытекает простое выражение для -процентной точки

8.16.23. Покажите, что множественная когерентность для ряда с действительными значениями и векторного ряда не изменится при невырожденной линейной фильтрации каждого из рядов по отдельности.

8.16.24. Получите следующие разложения по степеням малых параметров :

8.16.25. Пусть временной ряд составленный из двух рядов, удовлетворяет условию 2.6.2 (3) и пусть для выполнены условия 5.6.1 и (5.8.21) при Если выполнены остальные условия теоремы 8.6.1, то

где обозначает вторую производную

8.16.26. Докажите, что

размеры матриц должны быть правильно выбраны.

8.16.27. Для матрицы, появляющейся в тексте сразу после формулы (8.2.18), докажите, что

8.16.28. При условиях теоремы 8.2.1 проверьте, что для ошибки (8.2.19) выполнено

8.16.29. Проверьте, что частная корреляция после удаления линейного воздействия со стороны X не выражается через какие-либо ковариации, связанные с

8.16.30. Докажите, что при а, определенной формулой (8.2.15), достигает максимума квадрат векторного коэффициента корреляции

8.16.31. Найдите и а, которые при выполнении условий теоремы 8.2.1 минимизируют

где Г есть -матркца, ГО.

8.16.32. Пусть есть векторный процесс авторегрессии порядка т. Докажите, что частная ковариационная функция

обращается в 0 при

8.16.33. При условиях теоремы 8.3.1 докажите, что существуют абсолютно суммируемый фильтр и стационарный второго порядка ряд ортогональный , обладающий абсолютно суммируемой автоковариационной функцией, такие, что

и

8.16.34. Пусть ряд в теореме 8.3.1 является -зависимым процессом, т.е. значения процесса, отстоящие друг от друга более чем на единиц времени, независимы. Покажите, что при

8.16.35. При условиях теоремы 8.3.1 докажите, что Если докажите, что

При докажите, что

8.16.37. Покажите, что матрица, обратная к матрице (8.2.47) частных ковариаций, будет -блоком под диагональю матрицы, обратной к ковариационной матрице (8.2.37).

8.16.38. Найдите при когерентность между и наилучшим линейным прогнозом, основанным на

8.16.39. Докажите, что

8.16.40. Пусть обозначает квадрат мгновенной множественной корреляции с X (t). Покажите, что

8.16.41. При условиях теоремы 8.3.2 докажите, что матрицей условной спектральной плотности для при заданных значениях. будет

8.16.42. Предположим, что весовая функция W (а), применявшаяся при построении оценки (8.6.4), неотрицательна. Покажите, что

8.16.43. Пусть выполнены условия теоремы 8.5.1, и пусть Проверьте, что асимптотическим распределением (X) является равномерное распределение на .

8.16.44. Пусть выполнены условия теоремы 8.3.1. Покажите, что комплексный коэффициент регрессии действительного ряда на ряд совпадает с строкой комплексного коэффициента регрессии -мерного ряда на ряд Выясните следствия этого результата.

8.16.45. При условиях теоремы 8.2.1 покажите, чтоа Доставляет максимум .

8.16.46. Пусть матрица W распределена по закону Покажите, что имеет ковариационную матрицу

8.16.47. а) Если W имеет распределение то покажите, что

b) Если матрица W распределена по закону то

См. Wahba (1966).