3.6. Применения дискретного преобразования Фурье

Допустим, нам известны значения Иногда бывает необходимо рассматривать свертку

    (3.6.1)

Если

    (3.6.2)

то сразу видно, что свертка (3.6.1) представляет собой коэффициент при в тригонометрическом полиноме и, следовательно, свертка задается формулой

    (3.6.3)

Этот случай подсказывает, что свертку (3.6.1) можно вычислять, применяя дискретное преобразование Фурье, и тем самым использовать преимущества быстрого преобразования Фурье.

Лемма 3.6.1. Для данных и целого свертка (3.6.1) задается формулой

при (3.6.4)

В общем случае (3.6.4) обращается в

    (3.6.5)

Взяв S достаточно большим, мы можем получить нужное значение свертки из (3.6.4). Если 5 выбрано разлагающимся на большое число множителей, то дискретные преобразования Фурье, используемые в (3.6.4), могут быть вычислены при помощи алгоритма быстрого преобразования Фурье, обсуждавшегося в предыдущем параграфе. Таким образом, свертка (3.6.1) быстрее вычисляется указанным методом, нежели прямо по определению (3.6.1). Этот факт подметил Sande [Gentleman, Sande (1966)],

а также Stockham (1966). Из формулы (3.6.5) видно, что при выражение (3.6.4) дает (3.6.1) плюс дополнительные члены. Для не слишком больших значений оно будет примерно равно (3.6.1), и это справедливо для всех и, если взять

Знание свертки (3.6.1) требуется, например, при оценке моментов стационарного двумерного ряда. Несмещенная оценка задается формулой

    (3.6.6)

имеющей вид (3.6.1). Из упр. 3.10.7 видно, как можно изменить результат леммы 3.6.1, чтобы построить оценку для

Результат леммы 3.6.1 оказывается также полезным при вычислений значений профильтрованного ряда

    (3.6.7)

где величины известны. Пусть — передаточная функция фильтра Тогда леммы 3.4.1 и 3.6.1 подсказывают, что стоит вычислить

    (3.6.8)

Эти значения должны быть близки к значениям профильтрованных величин. Непосредственная подстановка показывает, что (3.6.8) принимает вид

    (3.6.9)

и поэтому, если коэффициенты а быстро убывают при , выражение (3.6.8) будет близко к выражению (3.6.7). В случае когда S разлагается на большое число множителей, вычисления по формуле (3.6.8) могут быть сокращены при помощи алгоритма быстрого преобразования Фурье. Можно было бы, кроме того, ввести в рассмотрение и множители сходимости.

Заметим, что лемма 3.6.1 допускает следующее обобщение.

Лемма 3.6.2. Для данных и целого выражение

    (3.6.10)

равняется

В заключение этого параграфа укажем некоторые применения конечного преобразования Фурье. Допустим, что

тогда, согласно примеру 2 из § 3.4,

    (3.6.13)

Проверка показывает, что амплитуда функции, задаваемой формулой (3.6.13), велика лишь для Я, близких к . Следовательно, конечное преобразование Фурье (3.6.13) должно быть полезно при практическом определении заранее неизвестной частоты гармонического колебания. Об этом см. Stokes (1879). Заметим, что если содержит две неизвестные частоты, т.е.

    (3.6.14)

то близкие частоты и трудно разрешить (т. е. различить), так как

Очевидно, эта функция не будет иметь заметных пиков на частотах если так близки, что всплески соответствующих функций гасят друг друга. Трудность эту можно преодолеть, если ввести в преобразование Фурье множители сходимости. А именно, используя (3.3.6) для ряда, задаваемого

формулой (3.6.14), получим

Если множители сходимости выбраны так, что сосредоточена в некотором интервале, например в интервале , то амплитуда функции, определяемой формулой (3.6.16), будет иметь отчетливые пики в случае

Отметим также ряд других применений конечного преобразования Фурье. Оно используется при вычислении собственных значений интересующих нас матриц [Lanczos (1955)], при оценке распределений, являющихся смесями [Medgyessy (1961)], при определении кумулянтной функции распределения по ее характеристической функции [Bohman (1960)].