5.8. Смещения и предварительная фильтрация

В этом параграфе мы займемся более детальным анализом смещения предлагаемых оценок спектра мощности. Мы выясним, каким образом, используя элементарную операцию под названием предварительная фильтрация, можно уменьшить смещение. Начнем с рассмотрения периодограмм сглаженного ряда. Предположим для удобства, что хотя основные выводы останутся в силе и в общем случае.

Пусть

    (5.8.1)

где — временное окно, обращающееся в нуль при Тогда соответствующая периодограмма имеет вид

Определим ядро

где

    (5.8.4)

В этих терминах утверждение теоремы 5.2.3 имеет следующий вид:

    (5.8.5)

Рассмотрим это математическое ожидание более подробно. Положим

Как и следовало ожидать из § 3.3, верна

Теорема 5.8.1. Пусть действительный ряд со средним 0 и ковариационной функцией, удовлетворяющей условию

    (5.8.7)

для некоторого . Предположим, что временное окно такое, что (и), задаваемое (5.8.6), может быть представлено в виде

    (5.8.8)

Пусть задается формулой (5.8.2). Тогда

    (5.8.9)

обозначает производную . Остаточный член равномерен по К.

Из определения следует, что , откуда для нечетных в формуле (5.8.8). Таким образом, главный член смещения по формуле (5.8.9) равен

    (5.8.10)

Как видно, этот член зависит как от применяемого ядра, так и от исследуемого спектра. Мы будем стараться выбирать сглаживающую функцию такой, чтобы было по возможности меньше. В самом деле, если мы используем определение (3.3.11) ширины окна, то ширина ядра равна что также делает предпочтительными малые Ширина ядра — важный параметр в определении величины смещения. Так, например, в спектре трудно различить пики, расстояние между которыми меньше, чем Это тесно связано с выводами теоремы 5.2.8,

из которых следует, что сильно зависимы, когда X близко к Выражения (5.8.9) и (5.8.10) показывают, что смещение будет исключительно мало в том случае, когда близка к константе в окрестности X) это замечание подтверждает необходимость предварительной фильтрации, что будет обсуждаться позднее.

Рассмотрим оценку

в которой близко к X и

    (5.8.12)

Ввиду

    (5.8.13)

остаются справедливыми замечания к теореме 5.8.1 о том, что смещение (5.8.11) будет меньшим для меньших и для , близких к константе. Это подтверждает также и выражение

которое вытекает из (5.8.5). Ядро

    (5.8.15)

интеграла (5.8.14) повторяет форму функции, задающей величины для а, близких к Грубо говоря, ширина этого ядра в m раз превышает ширину , так что смещение (5.8.11) должно быть больше, чем смещение для , если отличается от константы. С помощью статистики (5.8.11) будет трудно различать пики расстояние между которыми меньше, чем Сглаживание с весами приводит к уменьшению разрешающей способности статистики . Необходимо помнить, однако, что сглаживание было введено для увеличения устойчивости оценки, есть также основание полагать, что в некотором более общем смысле сглаженные оценки будут лучше.

Вернемся к детальному исследованию состоятельной оценки, введенной в § 5.6. Напомним ее вид:

    (5.8.16)

где III задается формулой (5.8.2), а - формулой (5.6.2).

Теорема 5.8.2. Пусть действительный ряд со средним 0 и ковариационной функцией, такой, что

    (5.8.17)

для некоторого 1. Пусть временное окно таково, что из формулы (5.8.6) может быть представлено в виде (5.8.8) для Пусть задается (5.8.16), причем удовлетворяет условию 5.6.1. Тогда

    (5.8.18)

Остаточный член равномерен по Я.

Выражение (5.8.18) показывает преимущества сглаживания и в этом случае. Как видно из (5.8.18), математическое ожидание приблизительно равно взвешенному среднему интересующего нас спектра мощности с ядром . Эффективная ширина ядра имеет порядок , поскольку

    (5.8.19)

Для следствия 5.8.2 введем величину

    (5.8.20)

Следствие 5.8.2. Предположим в дополнение к условиям теоремы 5.8.2, что

    (5.8.21)

тогда

    (5.8.22)

Ввиду того что члены выражения (5.8.22) с нечетными обращаются в нуль. Мы видим, что, выбирая W (Р) так, чтобы можем уменьшить смещение до порядка Такое W (Р), очевидно, должно принимать кое-где отрицательные значения, что в некоторых ситуациях может привести к определенным сложностям. Для из следует

    (5.8.23)

Как следует из выражения (5.8.19), эффективная ширина ядра равна , что еще раз подчеркивает зависимость смещения от ширины ядра и гладкости в окрестности точки .

В § 3.3 обсуждался вопрос о том, какое ядро более выгодно применять при сглаживании периодограммы. В большинстве случаев этот вопрос может быть решен путем разумного выбора, фильтра, применяемого перед оценкой спектра мощности. Как было показано, главный член равен

    (5.8.24)

Если не зависит от а и то выражение (5.8.24) равно Отсюда следует, что чем ближе к константе, тем меньше смещение. Предположим, что ряд подвергается действию фильтра с передаточной функцией Обозначим ряд на выходе через - Из упр. 2.8.1 следует, что спектр мощности этого ряда задается выражением

    (5.8.25)

или, после обращения,

    (5.8.26)

Пусть является оценкой спектра мощности ряда Y (t). Из соотношения (5.8.26) следует, что в этом случае выражение

    (5.8.27)

будет оценкой для Математическое ожидание этой оценки, как уже отмечалось выше, равно

    (5.8.28)

Если выбрано так, что (а) — величина постоянная, то (5.8.28) будет в Точности равно Отсюда следует, что в том случае, когда отличается от константы, мы можем попытаться найти передаточную функцию такую, чтобы спектр фильтрованного ряда был близок к константе; тогда в качестве оценки для мы возьмем Такая процедура, предложенная в работе Press, Tukey (1956), называется оценкой спектра с помощью предварительной фильтрации или приведения к белому шуму. Обычно фильтр определяется из некоторых частных соображений, однако Парзен и Тьюки предложили общую процедуру, которая состоит в определении фильтра по авторегрессионной схеме. Для, некоторого определим , так, чтобы минимизировать выражение

    (5.8.29)

при этом

удовлетворяет изложенным выше соображениям. В случае когда ряд является приблизительно авторегрессионной последовательностью порядка (см. § 2.9), эта процедура будет близка к оптимальной. Она дает неплохие результаты также и в других случаях.

Аналогичным образом для ряда , полученного из фильтрацией с передаточной функцией по формуле (5.3.20), имеем

    (5.8.31)

откуда

Это обсуждение приводит к следующей оценке для

причем функция выбрана так, чтобы было по возможности близко к константе. Эта оценка, основанная на дискретном преобразовании Фурье значений включает сглаживание взвешенных ординат периодограммы. В том случае, когда (а) имеет острый пик около точки мы можем выбрать такой, чтобы После процедуры сумма (5.8.33) не будет содержать ординат периодограммы . Заметим, что ордината была опущена еще в оценке (5.8.16). Согласно обсуждению теоремы 5.2.2, это эквивалентно изучению периодограмм значений

    (5.8.34)

где

    (5.8.35)

Аналвгьлная ситуация возникает в том случае, когда удаляется из оценки ордината . Если значения не меняются при умножении ряда на , то устранение ординаты периодограммы эквивалентно изучению периодограмм значений из которых вычтена синусоида наилучшего вложения частоты Идею исключения некоторых частот при сглаживании периодограмм рассматривали Priestley (1962b), Bartlett (1967), а также Brillinger, Rosenblatt (1967b). Некоторые свойства предварительной фильтрации обсуждались в работе Akaike (1962а). Иногда мы настолько хорошо можем представить себе функцию А (к), что из ее вида можно непосредственно делать вывод относительно спектра ряда У (t), не производя его деления на