2.8. Инвариантные свойства кумулянтного спектра

Основными величинами, используемыми при частотном анализе стационарных временных рядов, являются кумулянтные спектры. Мы часто будем подвергать ряды прохождению через фильтры и рассматривать результаты этих операций. Поэтому важно понять, какое влияние оказывает фильтрация на кумулянтный спектр. Этот эффект имеет Простую алгебраическую природу.

Теорема 2.8.1. Пусть — -компонентный векторный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.1 и , где — суммируемый -фильтр. Тогда также удовлетворяет условию 2.6.1 и его кумулянтный спектр

задается формулой

    (2.8.1)

Некоторые частные случаи этой теоремы особенно важны.

Пример 2.8.1. Пусть действительны и имеют спектры мощности соответственно . Тогда

    (2.8.2)

где — передаточная функция фильтра.

Пример 2.8.2. Пусть обозначают соответственно -матрицы спектра второго порядка для . Тогда

    (2.8.3)

Если то спектр мощности равен

    (2.8.4)

Поскольку спектр мощности неотрицателен, мы можем заключить на осндвании (2.8.4), что

    (2.8.5)

для всех комплексных . Таким образом, рассматривая получаем, что матрица — неотрицательно определенная (результат теоремы 2.5.1).

Пример 2.8.3. Пусть , два -компонентных векторных ряда и Y выражается через X следующим образом:

    (2.8.6)

и

Тогда кумулянтный спектр дается формулой

где обозначают передаточные функции фильтров

Позднее мы увидим, что примеры 2.8.1 и 2.8.3 помогают интерпретировать спектр мощности, кросс-спектр и кумулянтные спектры высших порядков.