8.9. Доверительные области для предложенных оценок

Асимптотические распределения, рассмотренные в предыдущем параграфе, можно использовать при построении доверительных областей для изучаемых параметров. В этом параграфе мы пользуемся отождествлением (8.8.6).

Начнем с построения приближенной доверительной области для . Пусть . Выражение (8.5.11) приводит к тому, чтобы в качестве аппроксимации распределения величины

взять распределение здесь Это приближение может быть использовано, как и в § 6.9, для построения доверительной области либо для либо для . При распределение (8.9.1) аппроксимируется .

Если обозначить строку матриц соответственно через то доверительную область для можно получить, аппроксимируя распределение

    (8.9.2)

распределением в случае . В упр. 6.4.17 указывается способ построения приближенных совместных доверительных областей для всех линейных комбинаций элементов из Тем самым мы приходим к -процентной доверительной области вида

    (8.9.3)

, если Ее можно преобразовать в совместную доверительную область для по методу упр. 6.9.11.

Рассматривая можно заметить, что параметры алгебраически эквивалентны параметрам для которых мы и укажем доверительные интервалы.

Теорема 8.5.1 предлагает взять в качестве приближения к распределению при распределение , а при распределение . Доверительные интервалы для можно построить с помощью этих приближений по аналогии с выражением (5.7.5).

(см. скан)

Рис. 8.9.1. 80-процентные доверительные интервалы для когерентностей. Индексы у кривых соответствуют числу усредненных периодограмм.

В случае одного рассмотрим, ориентируясь на теорему 8.8.1, 100(1-а)-процентный доверительный интервал:

    (8.9.4)

Можно было бы в качестве альтернативы найти распределение комплексного аналога коэффициента корреляции при уменьшенном на объеме выборки, воспользовавшись таблицами Amos, Koopmans (1962), или построить с помощью этих таблиц кривые рис. 8.9.1 и 8.9.2.

В случае множественной когерентности можно рассмотреть

(см. скан)

Рис. 8.9.2. 90-процентные доверительные интервалы для когерентностей. Индексы у кривых соответствуют числу усредненных периодограмм.

приближенный -процентный доверительный интервал:

    (8.9.5)

Имеется и другая возможность — обратиться к таблицам Alexander, Vok (1963).

Доверительные области, типа рассмотренных выше, определялись в работах Goodman (1965), Enochson, Goodman (1965), Akaike (1965), Groves, Hannan (1968). Если , то приближенная -процентная точка задается элементарным выражением см. упр. 8.16.22.