К главе 3

Доказательство теоремы 3.3.1. Первое равенство в (3.3.18) получается немедленно. Переписав интеграл в виде

приходим к второму равенству.

Доказательство леммы 8.4.1. Имеем

где при некотором конечном L, поскольку компоненты ограничены.

Доказательство теоремы 3.5.1. Теорема прямо вытекает из подстановки и из того, что для целых

Доказательство теоремы 3.5.2. См. доказательство теоремы 3.5.3.

Доказательство теоремы 3.5.3. Прежде всего отметим, что целые числа

взятые по , пробегают все целые значения t из промежутка — 1. Поэтому принимает возможных целых значений. Предположим, что два из них совпадают по , т. е. при некотором целом I

Это эквивалентно равенству

левая часть которого не делится на в то время как правая часть делится. Получено противоречие, следовательно, значения совпадают с целыми Утверждение теоремы получается теперь, если рассмотреть по

Доказательство леммы 3.6.1. См. доказательство леммы 3.6.2. Доказательство леммы 3.6.2. Если подставить в (3.6.11)

то получим выражение

В случае отсюда получается (3.6.5), а при имеем (3.6.10).

Доказательство леммы 3.7.1. Утверждение легко проверяется после того, как установлено соответствие (3.7.7).

Доказательство теоремы 3.7.1. См. книгу Bellman (1960).

Доказательство теоремы 3.7.2. Матрица неотрицательно определенная и эрмитова. Поэтому ее собственные значения имеют вид причем выберем Пусть V обозначает ассоциированную матрицу, составленную из соответствующих собственных векторов; для нее ZTZV где диагональная матрица Допустим, что имеет размеры Выберем U так, чтобы Тогда ясно, что -унитарная матрица, составленная из собственных векторов ; теорема полностью доказана.

Доказательство теоремы 3.7.3. Пусть обозначает выражение (3.7.11), а обозначает (3.7.12). Нетрудно проверить, что

Доказательство теоремы 3.7.4. Положим По теореме Куранта — Фишера [см. Bellman (1960) и упр. 3.10.16]

где D — произвольная -матрица, a x - любой -компонентный вектор. Следовательно,

поскольку ранг матрицы

не превосходит Проверка показывает, что этот минимум достигается, если взять матрицу А, задаваемую формулой (3.7.19). Таким образом, утверждение доказано.

Доказательство теоремы 3.8.1. См. книгу Bochner, Martin (1948), стр. 39.

Доказательство теоремы 3.8.2. Пространство является коммутативным нормированным кольцом, см. Гельфанд и др. (1960). Пространство максимальных идеалов этого кольца гомоморфно полосе в комплексной области Если этот гомоморфизм сопоставляет число , то

Именно так выглядят функции из . Наше утверждение вытекает теперь из теоремы 1 книги Гельфанда и др. (1-960). Заметим, что можно было бы провести и прямое доказательство.

Доказательство теоремы 3.8.3. Пространство является коммутативным нормированным кольцом, а его пространство максимальных идеалов гомоморфно интервалу действительной прямой. Соответствие задается следующим образом:

для всякого максимального идеала М. Величины являются элементами . Теорема представляет собой следствие теоремы 1 из работы Гельфанд и др. (1964, стр. 82).

Доказательство теоремы 3.9.1. Рассмотрим пространство, состоящее из конечных линейных комбинаций величин Можно снабдить это пространство внутренним произведением, полагая по определению

Получившееся предгильбертово пространство может быть пополнено. Пусть Н—соответствующее гильбертово пространство. В Н существует такой унитарный оператор что

Согласно теореме Стоуна (см. Riesz, Nagy (1955)), оператор обладает спектральным представлением

где Е (А) — спектральное семейство проекционных операторов в Н. Это семейство обладает свойствами: и непрерывна по А справа. Кроме того, для принадлежащих Н, функция имеет ограниченную вариацию и

Если ввести тогда видно, что

в смысле (3.9.6). Из равенства также вытекает, что

Далее, сославшись на теорему Бохнера, мы можем отождествить , определенную формулой (3.9.4), со скалярным произведением Остальные утверждения теоремы вытекают из свойств спектрального семейства .

Доказательство теоремы 3.9.2. Полагаем

В силу (3.9.11) найдется такая что

и

Возьмем теперь Z (К) так, чтобы выполнялось условие Тогда

Отсюда получаем (3.9.13). Обратившись далее к проверке (3.9.15), имеем при

где задается формулой (3.9.3). Теперь учтем, что

поэтому (3.9.15) вытекает из теоремы единственности преобразования Фурье—Стилтьеса.