7. ОЦЕНКИ СПЕКТРА ВТОРОГО ПОРЯДКА МНОГОМЕРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

7.1. Матрицы спектральной плотности и их интерпретация

В этой главе мы, обобщая результаты гл. 5, будем изучать совместное поведение статистик второго порядка компонент многомерного временного ряда.

Пусть многомерный временной ряд с компонентами где . Пусть

    (7.1.1)

для и Отдельные компоненты вектора обозначим через ; таким образом, является средним ряда . Элемент в пересечении строки а и столбца b матрицы обозначим через , так что есть кросс-ковариационнай функция ряда и ряда . Заметим, что для

    (7.1.3)

Предположив, что

определим матрицу спектральной плотности частоты ряда следующим образом:

    (7.1.5)

Очевидно, что элемент в пересечении строки а и столбца b матрицы является спектром мощности ряда если , и кросс-спектром ряда и ряда если Заметим, что имеет по X период, равный Ввиду того что компоненты действительны, из (7.1.3) следует

Согласно последнему выражению матрица эрмитова. Отсюда следует, что в качестве основной области определения можно выбрать интервал . Как видно из теоремы положительно определена, это означает, в частности, что спектр мощности действительного ряда неотрицателен.

Пример 2.8.2 показывает эффект фильтрации матрицы спектральной плотности. Пусть

    (7.1.7)

для фильтра с матрицей размерности имеющего передаточную функцию

    (7.1.8)

в таком случае матрица спектральной плотности ряда для — имеет вид

    (7.1.9)

Из определения матрицы спектральной плотности следует, что

    (7.1.10)

где Из выражений (7.1.9) и (7.1.10) получим ковариационную матрицу ряда ,

    (7.1.11)

Чтобы дать интерпретацию рассмотрим применение этого результата для -координатного фильтра с передаточной функцией

для и равной 0 для всех других частот мы использовали определение фильтра по теореме 2.7.1.) Если достаточно мало, то выход этого фильтра есть -мерный ряд

    (7.1.13)

содержащий компоненту частоты к, введенную в § 4.6. Исследуя выражение (7.1.11), получим следующий приближенный результат:

    (7.1.14)

или

    (7.1.15)

Оба этих приближения приводят к полезной интерпретации как величины, пропорциональной ковариационной матрице (компонента частоты в ), а как величины, пропорциональной кросс-ковариации и ее преобразования Гильберта . Коспектр , полученный из пропорционален ковариации компоненты частоты к в ряде с соответствующей компонентой ряда Квадратурный спектр пропорционален ковариации гильбертова преобразования компоненты частоты к ряда с компонентой частоты к ряда Будучи ковариациями, оба приведенных приближения являются мерами линейной зависимости.

Интерпретируя матрицу спектральной плотности полезно также напомнить некоторые свойства второго порядка представления Крамера. Согласно теореме 4.6.2, для справедливо представление

    (7.1.16)

причем стохастическая функция удовлетворяет соотношению

    (7.1.17)

где есть периодическое с периодом продолжение дельтафункции Дирака. Из (7.1.17) следует, что мы можем интерпретировать как величину, пропорциональную ковариационной матрице комплексного дифференциала Обе эти интерпретации позже будут рассмотрены как достаточно удовлетворительные оценки