3.10. Упражнения

3.10.1. Предположим, что для при малом А и для остальных X из промежутка Покажите, что

3.10.2. Пусть — передаточная функция фильтра. Покажите; что фильтр оставляет инвариантными полиномы, степени k тогда и только тогда, когда (здесь обозначает производную функции [Schoenberg (1946), Brillinger (1965а)].

3.10.3. Покажите, что если

допускает оценку то фигурирующая в (3.3.6), задается формулой

3.10.4» Покажите, что если обозначает матрицу, у которой на пересечении строки и столбца, стоит элемент то

3.10.5. Докажите, что если задается выражением (3.2.6), то стремится к при

3.10.6. Докажите, что при функция, определяемая формулой (3.4.14), стремится к

3.10.7. Пусть обозначают соответственно средние значения Покажите, что

равняется

3.10.8. Пусть обозначает Г-периодическое продолжение для . Получите формулу

3.10.9. Пусть

Покажите, что

3.10.10. Пусть обозначает выражение (3.6.10). Покажите, что

3.10.11. Покажите, что если , то

3.10.12. Пусть же матрица, что и в упр. 3.10.4. Покажите, что ее собственные значения равны соответственно с кратностями (Здесь обозначает целую часть N.) См. Lewis (1939).

3.10.13. Докажите, что если эрмитова матрица Z имеет собственные значения и соответствующие собственные векторы то у матрицы собственными значениями будут ственными векторами — Покажите, как этот результат может быть использован для сокращения количества вычислений при определении собственных значений и собственных векторов матрицы Z по собственным значениям и собственным векторам матрицы

3.10.14. Используя неравенство (3.7.16), докажите следующую теорему. Пусть

где Пусть также . Если - функция, производная которой равномерно ограничена

на области значений то

Теоремы такого типа имеются в книге Grenander, Szego (1958).

3.10.15. Матрица Z размера называется блочно-периодической, если она составлена из -матрицы где — некоторая -матричная функция периода Т, Докажите, что собственные значения матрицы Z выражаются через собственные значения

и соответствующими собственными векторами окажутся

где -собственные векторы для [Friedman (1961)]. Покажите, как этот результат можно использовать для нахождения матрицы, обратной к блочнопериодической.

3.10.16. Пусть - матрица Z эрмитова. Докажите, что

где -вектор с J компонентами, a -матрица, имеющая J строк и ранг которой не превосходит Это утверждение, именуемое теоремой Куранта — Фишера, можно найти в работе Bellman (1960).

3.10.17. Докажите, что если белый шум имеет моменты всех порядков, то авторегрессионная схема (3.8.11) с вероятностью 1 имеет решение , для которого выполнено условие (2.6.1), если полином (3.8.10) не имеет корней в единичном круге.

3.10.18. Докажите, что если где А, В суть комплексные -матрицы, то детерминант матрицы Якоби равен см. Deemer, Olkin (1951), Khatri .

3.10.19. Пусть комплексная -матрица Z имеет различные собственные значения . Докажите, что являются голоморфными функциями от элементов матрицы Z. Указание: величины являются решениями уравнения применить теорему 3.8.1 [Portmann (I960)].

3.10.20. Пусть комплексная -матрица имеет различные собственные значения. Покажите, что существует невырожденная матрица Q, элементы которой яеляются голоморфными функциями от элементов Z для всех Z в окрестности и при этом будет диагональной матрицей в этой окрестности. [Portmann (I960)].

3.10.21. Покажите, что если матрицы фигурирующие в упр. 3.10.20, эрмитовы, то столбцы Q ортогональны. Выведите отсюда, что унитарная матрица U, элементы которой являются действительными голоморфными функциями от элементов Z, может быть определена так, что окажется диагональной матрицей.

3.10.22. Докажите, что если для реализуемого -фильтра существует обратный то задается

как

3.10.23. Выполните упр. 2.13.22, используя результаты § 3.8.

3.10.24. Пусть - монотонно возрастающая функция, такая, что и пусть функция такова, что существует

для Выясните, какой вид примет теорема 3.9.1 для таких рядов

3.10.25. Примем обозначения теоремы 3.9.1. Докажите, что если моменты выражения (2.11.9) существуют и представляют собой преобразования Фурье—Стильтьеса функций , — то

3.10.26. Пусть - упорядоченный набор собственных векторов эрмитовой -матрицы Z. Покажите, что

где максимум берется по всем х, ортогональным к и максимум достигается при

3.10.27. Пусть А есть эрмитова -матрица, собственные значения и векторы которой будут соответственно . Зададим отображение действительной прямой в себя и определим - матричную функцию формулой

Покажите, что .

3.10.28. Покажите, что существуют постоянные такие, что

3.10.29. Предположим, кроме выполнения условий теоремы 3.3.1, еще непрерывность производной функции при Покажите, что последний член в выражении (3.3.18) можно заменить величиной

3.10.30. Пусть известны действительные числа . Положим Покажите, что

Это упражнение показывает, как преобразования Фурье двух действительных наборов данных наблюдений могут быть найдены применением преобразования Фурье к комплексным наборам данных [Bingham и др. (1967)].

3.10.31. Докажите, что для целого

где а связаны между собой формулой (3.2.2).

3.10.32. Покажите, если а есть -компонентный вектор и Z есть эрмитова -матрица, то

где

3.10.33. будем применять обозначения следствия 3.7.2. Положим где если если Тогда -матрица называется обобщенной обратной к Z, Проверьте, что

Покажите что для

3.10.35. Покажите, что если задается выражением (3.2.4), то для

3.10.36. Используя разложение через сингулярные значения, покажите что -матрица А ранга L может быть записана, как , где В — матрица размера — размера

Пусть -матрица имеет . Покажите, что элементы матрицы являются голоморфными функциями от Z в окрестности