7.2. Периодограммы второго порядка

Пусть имеется выборка Т последовательных значений -мерных векторов из стационарного ряда со средним и матрицей спектральной плотности Допустим, что нас интересует оценка f (X). Рассмотрим оценки, основанные на конечном преобразовании Фурье

    (7.2.1)

где функция сглаживания стремится к нулю при достаточно больших . Согласно теореме 4.4.2, эта переменная имеет асимптотическое распределение

где

и для

Эти распределения приводят к рассмотрению статистики

в качестве оценки в случае . Координаты вектора являются периодограммами второго порядка сглаженных значений статистика, очевидно, имеет те же свойства симметрии и периодичности, что и . В соответствии с этим справедлива

Теорема 7.2.1. Пусть есть -мерный ряд со средним и кросс-ковариационной функцией для , - причем

Если удовлетворяет условию 4.3.1 для задано выражением (7.2.5), то для —

и

    (7.2.7)

Функция сглаживания имеет такой характер, что ее преобразование Фурье концентрируется при больших Т в окрестности частот Отсюда следует, что в случае последний член формулы (7.2.7) будет исчезающе малым при больших Т. Первый член правой части (7.2.7) является, очевидно, взвещенным средним интересующего нас кроссспектра с весом, сконцентрированным в окрестности точки и определенным функцией сглаживания. Переходя в этом равенстве к пределу, получим

Следствие 7.2.1. Если выполнены условия теоремы 7.2.1 и для а, , то справедливо соотношение

    (7.2.8)

Оценка будет асимптотически несмещенной, если или Если достаточно удалены от нуля, то смещение в оценке может быть значительным, как это явствует из вида члена выражения (7.2.7), содержащего . Этот эффект может быть уменьшен путем вычитания оценки среднего перед операцией конечного преобразования Фурье. Так, можно ввести статистику

в которой для выполняется

и статистику

    (7.2.11)

в качестве оценки

Асимптотическое поведение ковариации двух элементов в случае ряда с нулевым средним дает

Теорема 7.2.2. Пусть , является -мерным рядом, удовлетворяющим условию . Пусть , удовлетворяет условию 4.3.1, а задано выражением (7.2.5). Тогда

    (7.2.12)

где с постоянными

Статистическая зависимость как нетрудно видеть, исчезает с убыванием функции Переходя в утверждении теоремы к пределу, получим

Следствие 7.2.2. При сохранении условий теоремы 7.2.2 для справедливо соотношение

    (7.2.13)

Для несглаженных данных, т. е. при если в остальных случаях, из упр. 7.10.14 следует, что

для частот , вида , где — целые и .

Мы завершаем это обсуждение асимптотических свойств матрицы периодограмм второго порядка выводом их асимптотического распределения.

Теорема 7.2.3. Пусть есть -мерный векторный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.1. Пусть задано выражением (7.2.5). Предположим, , удовлетворяет условию 4.3.1 и что для . Тогда являются асимптотически независимыми величинами с распределением .

Если, кроме того, то асимптотически имеет распределение и не зависит от предыдущих переменных.

Распределение Уишарта было введено в § 4.2, там же были рассмотрены различные его свойства. Как видно, в последней теореме предельное распределение непосредственно зависит от . Однако распределение Уишарта с одной степенью свободы довольно сильно растянуто относительно . Поэтому нельзя рассматривать как удовлетворительную оценку!

Интересно отметить, что предельное распределение в теореме 7.2.3 не содержит используемой в статистике сглаживающей функции. Предельное распределение не зависит от сглаживающей функции, однако, как показывает выражение (7.2.7), вид сглаживающей функции влияет на смещение оценки при конечных размерах выборки. Отсюда следует, что наличие близких пиков спектральной плотности требует использования сглаживания для повышения разрешающей способности.

Рассматриваемые в теореме 7.2.3 частоты не зависят от Т. Приведенная ниже теорема указывает асимптотическое распределение в случае, когда некоторые из частот стремятся к X при Вернемся к случаю, когда сглаживание отсутствует.

Теорема 7.2.4. Пусть есть -мерный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.1, и для выполняется

    (7.2.15)

Предположим, что — целое число, причем стремится к при для и что для и достаточно больших Т. Тогда являются асимптотически независимыми величинами с распределением . Аналогично если то асимптотически имеет распределение и не зависит от предыдущих переменных.

Наиболее важен случай, когда для . Здесь теорема указывает источник J асимптотически независимых оценок Справедливость этой теоремы можно было предполагать на основании теоремы 4.4.1, в которой указывалось, что суть асимптотически независимые переменные, распределенные по

Мы привели теорему 7.2.4 в случае несглаженных переменных только для того, чтобы избежать некоторых технических трудностей. Случай сглаживания переменных и зависящих от Т частот можно найти в работе Brillinger (1970b) и в упр. 4.8.20. Существенное требование для получения асимптотической независимости состоит в том, что не могут стремиться к нулю слишком быстро.

Теоремы 7.2.3 и 7.2.4 дают, в частности, маргинальные распределения, определенные ранее в гл. 5 для периодограммы

Приведенная ниже теорема показывает, как можно построить L асимптотически независимых оценок в том случае, когда данные предварительно сглажены. Мы разделим все данные на L непересекающихся интервалов, каждый из которых содержит по V сглаженных наблюдений, и построим периодограммы для каждого такого интервала.

Теорема 7.2.5. Предположим, что -мерный векторный ряд удовлетворяет условию 2.6.1. Пусть функция равна нулю при и и удовлетворяет условию 4.3.1. Если, кроме того, для выполняется

    (7.2.16)

где

, при являются асимптотически независимыми переменными с распределением , если , и асимптотически независимыми переменными с распределением если

Отметим еще раз, что предельное распределение не содержит Функции сглаживания, несмотря на то что она существенно используется в при построении

Комплексное распределение Уишарта ввел Goodman (1963) как аппроксимацию распределения спектральных оценок в случае многомерных рядов. Brillinger получил как предельное распределение матрицы периодограмм второго порядка.

На рис. 7.2.1-7.2.5 приведены периодограммы и кросс-периодограммы некоторых двумерных рядов. Ряд есть сезонная

(см. скан)

Рис. 7.2.1. Периодограмма сезонно приведенных ежемесячных средних температур в Берлине за 1780-1950 гг. (логарифмический масштаб). (По горизонтали — частоты в цикл/месяц.)

(см. скан)

Рис. 7.2.2. Периодограмма сезонно приведенных ежемесячных средних температур в Вене за 1780-1950 гг. (логарифмический масштаб). (По горизонтали - частоты в цикл/месяц.)

(см. скан)

Рис. 7.2.3. Действительная часть кросс-периодограммы температур Берлина с температурами Вены. (По горизонтали — частоты в цикл/месяц.)

(см. скан)

Рис. 7.2.4. Мнимая часть кросс-периодограммы температур Берлина с температурами Вены. (По горизонтали — частоты в цикл/месяц.)

(см. скан)

Рис. 7.2.5. Фаза кросс-периодограммы температур Берлина и Вены. (По горизонтали — частоты в цикл/месяц.)

выборка ежемесячных средних температур в Берлине за 1780— 1950 гг. Ряд — сезонная выборка ежемесячных средних температур в Вене за 1780 — 1950 гг. На рис. 7.2.1 и 7.2.2 приводятся периодограммы этих рядов. На остальных рисунках представлены кросс-периодограммы соответственно. Все эти графики крайне неустойчивы, что находится в полном соответствии с теоремой 7.2.3, согласно которой периодограмма второго порядка не может быть удовлетворительной оценкой спектра второго порядка.