6.6. Асимптотические ковариации предложенных оценок

Чтобы оценивать точность наших оценок, необходимо знать вид их моментов второго порядка. Статистика, которая при этом появляется, определяется выражением

    (6.6.1)

Эта статистика имеет такой же вид, как и в выражении (6.5.5), за исключением того, что входящая туда вёсовая функция W (а) заменена здесь на Обычно последняя более сконцентрированная однако в том случае, когда Для имеем

    (6.6.2)

В некоторых случаях мы будем находить оправданным аппроксимацию функцией Это дает преимущество сокращения необходимого объема вычислений. Заметим, что если ограничена, то то же самое справедливо и для Мы можем теперь установить следующий результат.

Теорема 6.6.1. Предположим, что удовлетворяет условию 2.6.1 и имеет среднее 0. Пусть удовлетворяет условию 6.5.2. Пусть задается выражением (6.1.1) с таким что . Пусть удовлетворяет условию 6.5.1. Если при , то

    (6.6.3)

В том случае, когда выполнено (6.6.2), второе уравнение в (6.6.3) имеет вид

    (6.6.4)

которое можно оценить с помощью

    (6.6.5)

Из выражения (6.6.3) мы видим, что дисперсия асимптотически имеет порядок так что справедливо

Следствие 6.6.1. Если выполнены условия теоремы и при то является состоятельной оценкой

Заметим также, что из (6.6.3) следует асимптотическая некоррелированность для

На практике мы имеем дело с действительными статистиками. Асимптотическая ковариационная структура приводится в упр. 6.14.22. С другой стороны, мы можем пользоваться статистиками и поэтому сейчас изучим их асимптотические ковариации. Определим как элемент, стоящий в строке и в столбце матрицы

    (6.6.6)

Теорема 6.6.2. Если выполнены условия теоремы 6.6.1 и

    (6.6.8)

Заметим, что асимптотическая ковариационная структура такая же, как и за исключением случая . Мы можем построить оценки ковариаций в теореме 6.6.2, заменив неизвестные их оценками. Заметим, что асимптотически некоррелированны для всех k и

Что касается то верна

Теорема 6.6.3. В условиях теоремы

    (6.6.10)

Переходя к пределу, получим

Следствие 6.6.3. Если выполняются условия теоремы 6.6.3 и при , то

    (6.6.11)

и

    (6.6.12)

Выражения (6.6.11) и (6.6.12) можно сравнить с выражениями (5.6.12) и (5.6.15). Из этих предельных соотношений видно, что асимптотические свойства моментов второго порядка , такие же, как — оценки спектра мощности, основанной только на значениях .

В случае мы имеем следующую теорему.

Теорема 6.6.4. В условиях теоремы 6.6.1

    (6.6.13)

Чтобы получить выражение для дисперсии при больших выборках, можно пользоваться приведенным ниже выражением (6.6.15). (См. упр. 6.14.31.) Эта дисперсия стремится к 0 при поэтому справедливо

Следствие 6.6.4. Если выполнены условия теоремы и ВТТ при , то является состоятельной оценкой .

Совместное поведение описывает

Теорема 6.6.5. В условиях теоремы 6.6.1

    (6.6.14)

и

Мы видим, что асимптотически некоррелированны как с так и . Асимптотически некоррелированны также

Для случая амплитуд и фаз верна

Теорема 6.6.6. В условиях теоремы 6.6.1

    (6.6.17)

и

    (6.6.20)