5.5.3. Устойчивость положения равновесия
При анализе устойчивости РЦФ рассматриваются, как правило, звенья первого и второго порядков, на основе которых строятся структуры РЦФ.
Асимптотическая устойчивость положения равновесия. Критерием асимптотической устойчивости положения равновесия (критерием Я. 3. Цыпкина) является выполнение неравенства
где 
для фильтра первого порядка и 
для фильтра второго порядка 
— разрядности после запятой регистров сумматора и умножителей соответственно, а 
для усечения и 
для округления). Смысл формулы (5.29) состоит в том, что амплитудно-фазовая характеристика 
фильтра должна располагаться в комплексной плоскости справа 
вертикальной прямой, проходящей через точку 
).
Из (5.29) следует, что РЦФ первого порядка асимптотически устойчив. Для РЦФ второго порядка достаточные условия устойчивости (5.29) при 
не выполняются (т. е. необходимо, чтобы 
При невыполнении условия (5.29) выходной сигнал РЦФ (при произвольных начальных условиях 
по истечении определенного времени либо становится равным нулю, либо имеет вид периодической последовательности, именуемой «предельным циклом при нулевом входе» 
Методы определения границы предельных циклов описаны в [3.5, 5.8].
Устойчивость положения равновесия. Рекурсивный цифровой фильтр второго порядка устойчив в смысле (5.27) при выполнении следующих условий:
Рис. 5.13
1. Эквивалентный линейный фильтр устойчив (т. е. полюсы передаточной функции находятся внутри единичного круга 
-плоскости),
2. В фильтре используется сумматор с характеристикой (нелинейностью переполнения) 
расположенной в заштрихованной области (рис. 5.13),
3. Величина 
в (5.27) достаточно мала (сравнима с допустимым уровнем шумов).
К требуемому виду характеристики 
относится и часто используемая характеристика типа «ограничения»:
обеспечивающая отсутствие колебаний переполнения (Overflow oscillations), т. е. предельных циклов с амплитудой уровня переполнения.
Величина 
в (5.27) оценивается точно так же, как оценивалась ошибка квантования в 3.9.1 [см. 
где 
— импульсная характеристика фильтра. Очевидно, что (5.31) является простой оценкой сверху для предельных циклов.
Увеличивая разрядность регистра 
можно получить сколь угодно малое значение 
