1.2. Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

1.2.1. Прямое z-преобразование

Прямое Z-преобразование последовательности определяется формулой

Функцию называют -образом последовательности .

Преобразование (1.3) имеет смысл для тех значений комплексной переменной при которых ряд (1.3) сходится.

Пример 1.2. Пусть при . Тогда из (1.3)

В табл. 1.2 приведены ряд последовательностей и соответствующие им Z-образы

С помощью -преобразования весьма удобно записывать различные формы выражений для передаточных функций и тем самым получать различные

Таблица 1.2 (см. скан)

формы реализации цифровых фильтров (см. 2.2). Кроме того Z-преобразование является основным способом расчета выходных сигналов дискретных в цифровых фильтров при сложных входных воздействиях.

1.2.2. Основные свойства прямого Z-преобразования

Пусть -последовательности; - Z-образы этих последовательностей; — констаиты.

где С — замкнутый контур в комплексной -плоскости, охватывающей все особенности функции лежащие в окружности с центром в точке 0 и с радиусом, равным (теорема о комплексной свертке).

1.2.3. Обратное z-преобразование

Обратное Z-преобразование определяется формулой

где С — замкнутый контур в -плоскости, охватывающей все особенности функции

Обратное -преобразование может быть определено путем вычисления интеграла (1-7), если последний не является расходящимся [1.9, 1.10]:

где — все не равные друг другу полюсы функции — кратность полюса причем

Существует второй способ вычисления (1.7) [1.9]:

Формула (1.8) позволяет получить аналитическую зависимость от и рассчитать для любого значения формула (1.9) позволяет рассчитать не вычисляя полюсов функции

Пример 1.3. Пусть Используя (1.8) и учитывая, что при полюсы имеют значения а при получаем

Пример 1.4. Пусть Используя (1.9), получаем:

1.2.4. Преобразование Фурье

Спектром последовательности называют комплексную функцию

Формулы (1-10) представляют собой пару преобразований Фурье. Из сравнения (1.3) и (1.10) видно, что спектр может быть получен путем подстановки в Z-образ последовательности. Поэтому из (1.4) и (1.5)

прямо следуют соответствующие свойства спектров последовательностей. При из (1.6) следует соотношение

Пусть тогда

т. е. умножение последовательности на последовательность соответствует сдвигу спектра последовательности вправо по оси частот.

Из (1.10) следует соотношение

е. спектр последовательности периодичен по частоте с периодом

Для вещественных последовательностей из (1.10)

т. е. модуль спектра вещественной последовательности является четной, а аргумент — нечетной функцией частоты. На рис. 1.3 показано условное изображение модуля спектра вещественной последовательности. Спектр называют инверсным по отношению к спектру в том случае, если

Пример 1.5. Пусть тогда из (1.12)

т. е. умножение отсчетов сигнала на позволяет получить сигнал спектр которого инверсен по отношению к спектру сигнала

Рис. 1.3

Основным прямым спектром (прямой частью спектра) называют часть спектра сигнала полученного в итоге дискретизации аналогового сигнала расположенную в области нижних частот от 0 до (см. рис. 1.3).

Основным инверсным спектром (инверсной частью спектра) называют часть спектра сигнала полученного в итоге дискретизации аналогового сигнала и расположенную в области частот от 0 да (см. рис. 1.3).

Сдвинутым прямым спектром (или просто прямым спектром) называют часть спектра удовлетворяющую условию

— целое число.

Сдвинутым инверсным спектром (или просто инверсным спектром) называют часть спектра удовлетворяющую условию

— целое число.

Рисунок 1.3 иллюстрирует (1.17) и (1.18). На этом рисунке показаны модули основных прямого и инверсного спектров, а также модули некоторых сдвинутых прямых и инверсных спектров.

Соотношения (1.10) — (1.18) играют весьма важную роль, поскольку основой решения почти всех задач цифровой обработки является спектральная теория. Так, формула (1.12) соответствует алгоритму сдвига (переноса) спектра дискретного сигнала из одной области частот в другую, который сводится к умножению отсчетов на отсчеты — частота, на которую сдвигается спектр). Из формул (1.13)-(1.15) следует, что изменение спектра сигнала при возможно лишь в том случае, если

Формула (1-16) определяет понятие «инверсный спектр», а в примере 1.5 рассмотрен алгоритм получения инверсного спектра последовательности