8.3.3. Определение параметров АР-модели по анализируемым данным

Часто при спектральном анализе значения автокорреляционной функции неизвестны. В этом случае определение параметров АР-модели необходимо выполнить, располагая лишь отсчетами анализируемого процесса. Если число отсчетов доступное для анализа, относительно мало («короткая» последовательность не более чем в 2—3 раза превышает максимальный порядок АР-модели), то параметры модели определяются один раз.

Для однократного нахождения параметров АР-модели по короткой последовательности обычно используются те или иные варианты методов линейного предсказания и разд. 6). Ниже рассматриваются лишь два варианта автокорреляционный метод и алгоритм Берга.

Для любого метода линейного предсказания «вперед» выходной сигнал АР-модели

рассматривается как линейная оценка очередного отсчета анализируемой последовательности. Текущая ошибка линейного предсказания «вперед»

Из (8.24) и (3.25) следует, что для линейного предсказания «вперед»

где .

В методах линейного предсказания «вперед» минимизируется общая или суммарная ошибка предсказания

т. е. для определения коэффициентов используется метод наименьших квадратов. Различные варианты методов линейного предсказания отличаются выбором области допустимых значений в (8.27). При использовании автокорреляционного метода принимает значения от 0 до причем считается, что при Из (8.26) и (8.27) получается выражение для суммарной ошибки предсказания автокорреляционного метода

Необходимые и достаточные условия минимума а также разд. 4 и 6)

представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров

где

Для вычисления коэффициентов и решения системы (8.30) разработаны эффективные алгоритмы и соответствующие ФОРТРАН-программы [6.3]. Эти алгоритмы позволяют в 6 раз уменьшить объем вычислений по сравнению с прямыми методами вычисления коэффициентов и решения системы (8.30).

После решения системы (8.30) величина необходимая для вычисления может быть определена из (8.28):

Алгоритм Берга предусматривает определение параметров АР-модели из условия минимума величины

при ограничении [см. (8.22)] Левинсона

где параметр АР-модели; — ошибка предсказания «вперед»; предсказания «назад».

Величина необходимая для расчета определяется как

Из (8.32) следует расчетная формула для параметра АР-модели:

Параметры АР-модели рассчитываются с помощью ограничения Левинсона [см. (8.32)].

Пример 8.9 [6.8]. В соответствии с алгоритмом Берга был выполнен спектральный анализ сигнала представляющего собой сумму двух синусоидальных сигналов с амплитудами, равными 1, и нормированными частотами (по условию нормировки интервал дискретизации белого шума. Отношение сигнал-шум (под сигналом понималась средняя мощность одного синусоидального сигнала, а под шумом — средняя мощность шума) было равно 0 дБ. Число отсчетов анализируемого сигнала составляло На рис. 8.6 показаны графики иллюстрирующие зависимость результатов спектрального анализа от выбранного порядка АР-модели Q.

Рис. 8.6

Рисунок 8.6, а соответствует случаю Видно, что по результатам спектрального анализа нельзя определить не только частоту синусоидальных сигналов, входящих в но и их число. Рисунок 8.6, б соответствует случаю Видно, что по результатам спектрального анализа можно определить как число синусоидальных сигналов, входящих в сигнал так и их частоты.