1.6. СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

1.6.1. Случайная последовательность

Последовательность называется случайной (случайной решетчатой функцией, случайным временным рядом), если каждый отсчет является случайной величиной.

Пример 1.27. Пусть причем - правильные -разрядные дроби, а — правильная -разрядная дробь, вычисляется с округлением до разрядов. Тогда при непериодических последовательностях можно считать, что где -случайная последовательность — погрешность (шум) округления.

1.6.2. Математическое ожидание и выборочное среднее

Для непрерывной случайной величины х математическое ожидание определяется как [1.22]

где — плотность распределения х (плотность вероятности

Пример 1.28. Для случайной последовательности (см. пример 1.27)

Величина характеризует среднее значение случайной величины х. Среднее по времени случайной последовательности Для рассматриваемых ниже стационарных эргодических процессов статистические характеристики, полученные усреднением по ансамблю выборок и по времени, совпадают. Ниже символом обозначается усреднение как по ансамблю, так и по времени. Если известна реализация случайной последовательности» состоящая из отсчетов, то оценкой математического ожидания (1.90) является выборочное среднее

1.6.3. Дисперсия и выборочная дисперсия

Для непрерывной случайной величины х дисперсия определяется как [1.22]

Величина а называется стандартным отклонением.

Пример 1.29. Для условия примера 1.27 согласно (1.92)

Если

т. е. если математическое ожидание отсчета случайной последовательности равно нулю, то дисперсия этой последовательности равна ее средней мощности

Для реализации случайной последовательности состоящей отсчетов, оценкой дисперсии является выборочная дисперсия

Величина а называется средним квадратическим отклонением и является оценкой величины .

Пример 1.30. Пусть Тогда из (1.91) и

1.6.4. Автокорреляционная функция стационарной случайной последовательности

Автокорреляционная функция определяется как

Оценка имеет вид

Автокорреляционная функция служит мерой корреляции между отсчетами случайной последовательности. Если отсчеты представляют собой независимые случайные величины, то при

1.6.5. Спектральная плотность мощности стационарной случайной последовательности

Спектральная плотность мощности есть средняя мощность последовательности приходящаяся на достаточно узкую полосу частот Функция связана парой преобразований Фурье с автокорреляционной функцией Для случайной последовательности указанная пара преобразований Фурье имеет вид:

Значения могут быть непосредственно измерены по реализации случайной последовательности (см. разд. рассчитаны с помощью (1.97) по известной автокорреляционной функции.