4.3.4. Метод наилучшей равномерной (чебышевской) аппроксимации. Алгоритм Ремеза
Пусть заданы совокупность (класс) Г функций 
где 
известные функции, например 
или 
аппроксимируемая функция 
весовая функция 
и замкнутый интервал 
Тогда функцией наилучшего равномерного (чебышевского) приближения в классе Г называют функцию 
с такими значениями коэффициентов си которые соответствуют минимальному значению
где 
- максимальная погрешность аппроксимации на интервале 
для определенного набора значений коэффициентов аппроксимирующей функции.
Очевидно, что функция наилучшего равномерного приближения точно соответствует критерию (4.9). Для некоторых классов функций 
[к ним, в частности, относятся функции (4.13) и (4.19)] непрерывной на интервале 
функции 
и кусочно-непрерывной положительной на том же интервале функции 
обобщенная теорема Чебышева [1.6, 4.6] устанавливает признак, выделяющий функцию наилучшего равномерного приближения среди всех функций данного класса; для того чтобы функция 
была функцией наилучшего равномерного приближения к функции 
с весовой функцией 
необходимо и достаточно, чтобы функция 
принимала наибольшие и равные друг другу по абсолютной величине и чередующиеся по знаку значения в 
последовательно расположенных точках (точках альтернанса) 
интервала 
т. е.
Последнее отношение истинно при любом значении 
принадлежащему интервалу 
Теорема (4.28) справедлива и для аппроксимируемых функций, заданных на отдельных интервалах, не имеющих общих точек. В этом случае функция должна быть доопределена на промежуточных интервалах так, чтобы в целом получилась непрерывная функция на замкнутом интервале, включающем все заданные интервалы. Все точки альтернанса должны располагаться только на заданных интервалах.
Пример 4.8. Пусть
Тогда коэффициенты функции наилучшего равномерного приближения имеют значения: 
при следующих точках альтернанса: 
.
На рис. 4.6 показаны графики 
. Как правило, аналитически функцию иаилучшего равномерного приближения определить невозможно. Одним из наиболее эффективных методов численного определения функций чебышевского приближения является алгоритм Ремеза [1.6, 2. 11, 4.7]. Суть этого алгоритма, реализуемого на ЭВМ, сводится к последовательной модификации коэффициентов аппроксимирующей функции до тех пор, пока с заданной степенью точности не оказываются выполненными условия обобщенной теоремы Чебышева, т. е. не получено чебышевское приближение. В приложении 5 приводится описание программы, реализующей алгоритм Ремеза.
Рис. 4.6
